402. Представление функции рядом Фурье. Возвратимся к прерванному исследованию поведения частичной суммы ряда Фурье, для которой мы получим интегральное представление (4).

Наложим теперь на функцию более тяжёлое требование, а именно – предположим её кусочно-дифференцируемой в промежутке [ , ] ^*).

Тогда имеет место общая

Теорема. Если функция с периодом кусочно-дифференцируема в промежутке [ , ] , то её ряд Фурье в каждой точке сходится и имеет сумму

.

Эта сумма, очевидно, равна , если в точке функция непрерывна.

Доказательство. Отмети, что равенство (4) имеет место для каждой функции , удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять , то , и из (4) получим, что

. (8)

Умножая обе части этого равенства на постоянное число и вычитая результат из (4), найдём

;

для нашей цели нужно доказать, что интеграл справа при стремится к нулю.

Представим его в виде

, (9)

где положено

; (10)

если бы нам удалось установить, что функция кусочно-непрерывна, то из леммы n°400 следовало бы уже, что интеграл (9) имеет пределом нуль при . Но в промежутке (0, ] функция вообще непрерывна, за исключением разве лишь конечного числа точек, где она может иметь скачки – ибо такова функция . Остаётся открытым лишь вопрос о поведении функции при .

Мы докажем существование конечного предела

;

положив тогда (до сих пор это значение оставалось формально не определённым!), мы в точке получим непрерывность, и применение леммы окажется оправданным. Но второй множитель в правой части равенства (10) явно имеет пределом единицу; обратимся к выражению в квадратных скобках.

Пусть, дла простоты, сначала точка лежит внутри промежутка, где функция . Тогда , и каждое из отношений

, (11)

стремится к пределу , а […] – к нулю. Если же есть «точка стыка» то при этом она может оказаться как точкой непрерывности, так и точкой разрыва. В первом случае мы опять столкнёмся с отношениями (11), но они будут стремиться на этот раз к различным, соответственно – к производной справа и к производной слева (рис 74, а). К аналогичному результату придём и в случае разрыва, но только здесь значение заменится значениями тех функций, от «склеивания» которых получилась данная, а пределами отношений будут односторонние производные упомянутых функций при (черт. 74, б).

Итак, наше заключение справедливо во всех случаях.

403. Случай непериодической функции. Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значений и притом имеет период . Между тем чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией , иной раз даже заданной только в промежутке [ , ].

Чтобы иметь право применять к такой функции изложенную теорию, введём взамен неё вспомогательную функцию , определённую следующим образом. В промежутке ( , ] мы отождествляем с :

, (12)

затем полагаем

,

а на остальные вещественные значения распространяем функцию по закону периодичности.

К построенной таким образом функции с периодом можно уже применять доказанную теорему разложения. Однако, если речь идёт о точке , лежащей строго между и , то, ввиду (12), нам пришлось бы иметь дело лишь с заданной функцией . По той же причине и коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (1), не переходя к функции . Короче говоря, всё доказанное выше непосредственно переносится на заданную функцию , минуя вспомогательную функцию .

Особого внимания, однако, требуют концы промежутка . При применении к функции теоремы n°402, скажем, в точке , нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции слева от , где они совпадают с соответственными значениями данной функции , так и со значениями справа от , где они совпадают уже со значениями справа от . Поэтому для в качестве значения надлежало бы взять

Таким образом, если заданная функция даже непрерывна при , но не имеет периода , так что , то – при соблюдении требования кусочной дифференцируемости – суммой ряда Фурье будет число

,

отличное как от , так и от . Для такой функции разложение может иметь место лишь в открытом промежутке ( , ).

Следующее замечание заслуживает серьёзного внимания читателя. Если тригонометрический ряд (2) сходиться в промежуток ( , ] к функции , то ввиду того, что его члены имеют период , они сходятся всюду, и сумма его оказывается тоже периодической функцией от с периодом . Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией (если последняя была задана на всей вещественной оси). Ниже это замечание будет проиллюстрированное примерами.

Отметим, наконец, что вместо промежутка [ , ] можно было бы взять любой промежуток [ , ] длины .