400. Основная лемма. Прежде чем продолжить наше исследование, докажем следующее важное для дальнейшего утверждение, которое принадлежит Риману:
Если функция g(t) непрерывна или кусочно-непрерывна в некотором конечном промежутке [a, b] , то
и, аналогично,
Доказательство достаточно провести для первого из этих пределов, предполагая функцию g(t) непрерывной.
Заметим
предварительно, что, каков бы ни был
конечный промежуток [
],
имеем такую оценку:
(5)
Разобьём промежуток на частей точками
(6)
и в соответствии с этим разложим и интеграл
Обозначив через mi наименьшее из значений g(t) в i-м промежутке, можно преобразовать это выражение так:
Если
есть колебание функции g(t)
в i-м
промежутке, то в его пределах
;
с учётом неравенства (5) теперь легко
получить для нашего интеграла оценку:
Задавшись
произвольным числом
,
выберем сначала дробление (6) так, чтобы
было
,
так что
;
это
сделать можно ввиду непрерывности
функции g.
Теперь, так
как числа
тем
самым уже определены, можем
взять
и
для этих значений
получим
,
что и доказывает наше утверждение.
Мы обращаем внимание читателя на то, что уже здесь пределы, к которым стремятся интегралы, установлены помимо предельного перехода под знаком интеграла.
Если вспомнить формулы (1), выражающие коэффициенты Фурье, то в качестве первого непосредственного следствия отсюда получается утверждение:
Коэффициенты
Фурье
,
кусочно-непрерывной функции при
стремятся к нулю.
401. Принцип локализации. Вторым непосредственным же следствием доказанной леммы является так называемый «принцип локализации».
Взяв
произвольное положительное число
,
разобьём интеграл в (4) на два:
.
Если второй из них переписать в виде
,
то станет ясно, что множитель при синусе
является
кусочно-непрерывной функцией от
в промежутке [
,
]
, ибо такова функция от
,
стоящая в числителе, в то время как
знаменатель
, не обращающийся в нуль в этом промежутке,
сохраняет непрерывность. В таком случае
по лемме этот интеграл при
стремится к нулю, так что и самое
существование предела для частичной
суммы ряда Фурье,
,
и величина этого предела целиком
определяются поведением одного лишь
интеграла
.
(7)
Но
в этот интеграл входят лишь значения
функции
,
отвечающие изменению аргумента в
промежутке от
до
.
Этим простым соображением и доказывается
«принцип локализации», состоящий в
следующем:
Теорема.
Поведение, ряда Фурье функции
в некоторой точке
*)
зависит исключительно от значений,
принимаемых этой функцией в непосредственной
близости рассматриваемой точки,
т.е. в сколь угодно малой её окрестности.
Таким образом, если, например, взять две функции, значения которых в произвольно малой окрестности совпадают, то как бы они ни разнились вне этой окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в точке одинаково: либо оба сходятся, и притом к одной и той же сумме, либо оба расходятся. Этот результат покажется ещё более разительным, если подчеркнуть, что самые коэффициенты Фурье рассматриваемых функций, зависящие от всех их значений, могут оказаться совершенно различными!
Эта теорема обычно связывается с именем Римана, ибо является следствием более общей его теоремы, доказанной в 1853г. Следует, однако, отметить, что идея «принципа локализации» содержится уже в одной работе Остроградского 1828г. по математической физике, а также отражена в исследованиях Лобачевского 1834г. по тригонометрическим рядам.