5. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний марковской стохастической системы. Правила записи уравнений, пример.

Уравнение Колмогорова представляет собой систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Такие уравнения позволяют найти все вероятности состояний как функции времени.

Правило составления уравнения: в каждом уравнении системы в левой части стоит финальная вероятность данного состояния Р₁ умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой части сумма произведений интесивности всех потоков входящих в i-тое состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят.

Уравнение Колмогорова имеет следующий вид.,для СМО с простейшими потоками событий.:

6.Вероятности состояний смо. Предельные вероятности состояний.

Пусть имеется физическая система S={S₁,S₂,…S_n}, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что _ij=const, т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим p₁(t), p₂(t),… p_n(t), при любом t. Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t. Будут ли функции p_i(t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,…n), .

Таким образом, при t в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p_i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением .

7.Основные формулы для вычисления финальных вероятностей состояний смо. Пример использования формул.

Что будет происходить с вероятностями состояний при  ? Будут ли   стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.

где   - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния   – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.

Пример. Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью l_I, второго также пуассоновский с интенсивностью l_II. Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта узла) для обоих узлов – пуассоновский с интенсивностью l. Составить граф состояний системы и написать уравнение Колмогорова. Состояния системы: S₁₁ - оба узла исправны; S₂₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен;  S_12, S₂₂.

 

 t=0  p₁₁=1  p₂₁=p₂₂=p₁₂=0

p₁₁+p₁₂+p₂₁+p₂₂=1.

© Copyright, 2009.