2. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости в трубе или канале
В
инженерных расчетах движения реальной
жидкости по трубам и каналам широко
используется уравнение, которое, так
же как и уравнение (8.8), выражает закон
сохранения механической энергии, но не
для трубки тока идеальной жидкости, а
для потока реальной жидкости в трубе
или канале и также называется уравнением
Бернулли. При написании этого уравнения,
в отличие от выражения (8.8), должны быть
учтены два обстоятельства: во-первых,
тот факт, что распределение скорости в
поперечном сечении трубы является
неоднородным, поскольку на стенках
скорость равна нулю, неоднородными
вследствие конечного размера сечения
являются также распределения статического
и геометрического давлений; во-вторых,
поскольку жидкость реальная, часть
механической энергии теряется, т. е.
переходит, рассеивается в теплоту
вследствие действия сил трения.
Рассмотрим стационарное течение реальной несжимаемой жидкости в произвольно ориентированной трубе любого, например, круглого сечения (рис. 10.2).
Полная механическая энергия потока,
отнесенная к единице объема, в сечении
1 – 1 будет равна сумме
динамического, статического и
геометрического давлений, т. е. сумме
объемных плотностей кинетической
энергии, потенциальной энергии давления
и потенциальной энергии положения. При
этом, поскольку все эти величины являются
переменными по сечению трубы, необходимо
использовать их значения, осредненные
по площади сечения. Точно так же для
сечения 2 – 2 можно
записать сумму осредненных по площади
этого сечения динамического, статического
и геометрического давлений, представляющую
собой объемную плотность полной
механической энергии жидкости в данном
сечении. Очевидно, что поскольку жидкость
реальная, и, следовательно, имеются
потери энергии, полная механическая
энергия в сечении 1 – 1 будет
больше соответствующей величины в
сечении 2 – 2 на величину этих
потерь, т. е.
.
Среднее по площади сечения динамическое
давление должно, очевидно, определяться
из выражения
(а)
где и – локальное значение скорости в любой точке сечения трубы.
Однако на практике известной величиной является обычно средняя по сечению скорость
.
Понятно, что динамическое давление,
найденное по величине средней скорости
,
не равно среднему динамическому давлению,
определяемому выражением (а). Поэтому
можно записать, что
,
где –
коэффициент Кориолиса, учитывающий это
обстоятельство, определяется как
отношение среднего динамического
давления к динамическому давлению,
найденному по средней скорости
,
и зависит от формы поперечного профиля
скорости.
Очевидно, что для круглого поперечного сечения среднее значение геометрического давления p–г = z (см. рис. 10.2), где z – высота расположения геометрического центра данного сечения по отношению к некоторой плоскости отсчета 0 – 0.
Таким образом, уравнение Бернулли для потока реальной жидкости в трубе имеет вид
(10.1)
Как это следует из приведенных рассуждений, смысл полученного уравнения заключается в том, что оно выражает закон сохранения механической энергии для потока реальной жидкости в трубе с учетом неоднородности распределения характеристик потока по сечению и с учетом потерь энергии. Эти потери, поскольку они выражаются в единицах объемной плотности энергии, т. е. в единицах давления, часто называют потерями давления.