Глава 3 статика жидкостей и газов

1. Уравнения Эйлера для статики

Если жидкость неподвижна или, что то же самое, движется как одно целое с постоянной, не зависящей ни от координат, ни от времени скоростью, тогда, очевидно, и вместо уравнения (8.7) получаем

(9.1)

Это равенство называется уравнением Эйлера для статики и выражает условие равновесия неподвижной жидкости: внешние массовые силы уравновешены силами давления.

Таким образом, силы давления в неподвижной жидкости действуют только в том случае, когда жидкость находится в поле внешних массовых сил, например, силы тяжести. В противном случае, т. е. при отсутствии внешней массовой силы, gradp = 0, давление всюду одинаково и силы давления также отсутствуют.

На практике наиболее часто внешняя массовая сила есть сила тяжести. Положим, что эта сила действует по оси z в отрицательном направлении. Тогда проекция вектора на ось z равна –g, а две другие проекции Х = Y = 0. В этом случае из уравнения (9.1) получаем др/дх = др/ду = 0, а

(9.2)

т. е. уравнение в векторной форме (9.1) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, в котором искомой функцией является давление р = р (z).

2. Распределение давления в неподвижных жидкостях и газах

Уравнение (9.2) при соответствующих граничных условиях позволяет весьма просто решить ряд задач, имеющих большое практическое значение. Ниже рассмотрены некоторые из таких задач, встречающихся в металлургической практике.

Изменение давления по глубине в неподвижной несжимаемой жидкости

Рассмотрим неподвижную жидкость, находящуюся в поле силы тяжести и занимающую настолько большой объем, что краевыми эффектами, связанными с действием межфазного натяжения на стенках сосуда, можно пренебречь.

П усть положительное направление оси z совпадает с направлением действия силы тяжести и z = 0 на свободной поверхности жидкости, где давление равно р₀ (рис. 9.1).

В рассматриваемом случае уравнение (9.2) принимает вид

.

Умножая обе части на dz и учитывая, что произведение g  = есть удельный вес, получим

dp = dz.

Интегрируя последнее уравнение при условии, что  = const, находим

p = z + C,

где С – постоянная интегрирования, значение которой определим из граничного условия р (0) = p₀. Полагая в этом решении z = 0, найдем С = p₀ и, следовательно, решение задачи имеет вид

p = p₀ + z.

(9.3)

Таким образом, в случае несжимаемой жидкости давление по глубине линейно увеличивается, и тем быстрее, чем больше плотность жидкости. Понятно, что по высоте давление будет также линейно уменьшаться, и тем быстрее, чем больше плотность.

Изменение давления по высоте в сжимаемом газе

Рассмотрим случай, когда плотность газа зависит от давления и уменьшается по высоте в связи с уменьшением давления.

Ось z направим вертикально вверх. При z = 0 давление р (0) = p₀. Из уравнения (9.2) получаем

dp = –gdz.

Газ считаем идеальным, температуру постоянной; тогда плотность в соответствии с законом Бойля–Мариотта пропорциональна давлению, т. е. плотность , соответствующая давлению р, определяется в виде  = ₀p/p₀, где ₀ – плотность, соответствующая давлению p₀.

Подставляя это выражение в последнее уравнение, получим dp = = –₀pgdz/p₀, или, разделяя переменные и учитывая, что ₀g = ₀,

dp/p = –_0dz/p₀.

Интегрирование этого уравнения дает

.

Постоянную интегрирования С определим из граничного условия р (0) = p₀. Полагая в последнем решении z = 0, получим С = ln p₀. Таким образом, это решение принимает вид ln р = ln р₀ – ₀z/p₀, откуда, потенциируя, получаем окончательно

(9.4)

Покажем, что из этого решения в качестве частного случая получается линейное уменьшение давления по высоте при постоянной плотности. Для этого разложим экспоненту в степенной ряд:

Величина отношения ₀/p₀ для газов имеет порядок 10^–4. Действительно, например, для воздуха удельный вес ₀ – величина порядка 10 Н/м³, а атмосферное давление p₀ – порядка 10⁵ Па. Поэтому при не слишком больших значениях высоты над поверхностью земли z (порядка 100 м) всеми членами этого ряда, кроме первых двух, можно пренебречь. В результате получим

что приводит к линейному уменьшению давления по высоте

p = p₀ – ₀z ,

(9.5)

где плотность постоянна и равна ₀.

Л.8.