4. Уравнение Бернулли для трубки тока идеальной жидкости

Как уже было указано выше, в некоторых случаях удается получить аналитическое решение уравнений Эйлера. Один из таких, наиболее простых случаев – стационарное движение несжимаемой идеальной жидкости в трубке тока. Получаемое для этого течения решение, т. е. интеграл уравнений Эйлера, носит название уравнения Бернулли и имеет большое практическое значение.

Т рубкой тока (рис. 8.2) называется поверхность, образованная всеми линиями тока, проходящими через замкнутый плоский контур, ограничивающий площадь бесконечно малого размера dS. В свою очередь, линия тока представляет собой векторную линию скорости, т. е. геометрическое место точек, в которых вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Понятно, что при стационарном движении линия тока совпадает с траекторией движения частицы жидкости. Таким образом, жидкость может двигаться лишь вдоль трубки тока и нигде ее не пересекает.

Рассмотрим элемент длины трубки тока, показанный на рис. 8.3. Жидкость движется в поле силы тяжести, ускорение которой, т. е. ее массовая плотность, направлено по оси z в отрицательную сторону. Движение в рассматриваемой точке происходит в произвольном направлении п. Жидкость несжимаема, режим движения стационарный.

Запишем при указанных условиях уравнение Эйлера (8.7) в проекции на ось п, обозначив проекцию вектора скорости на это направление и, и учитывая, что в связи со стационарностью движения и малостью поперечного сечения трубки тока скорость и давление зависят только от п:

.

З аметим, что левая часть этого уравнения представляет собой половину производной квадрата скорости по n и что cos = dz/dn. Умножая обе части на , получим

Эти уравнения представляют собой различные формы записи одного и того же уравнения Эйлера для рассматриваемого течения, но если в первом каждое слагаемое представляет собой массовую плотность определенной силы и имеет размерность Н/кг = м/с², то во втором каждое слагаемое – это объемная плотность силы с размерностью Н/м³.

Проинтегрируем последнее уравнение по п, учитывая, что  = const и что произведение g= представляет собой удельный вес, т. е. объемную плотность силы тяжести. В результате получим

u²/2 + p + z = const. (8.8)

Полученное выражение представляет собой уравнение Бернулли для трубки тока идеальной жидкости. Каждое слагаемое в этом уравнении, имеющее размерность Дж/м³ = Н/м² = Па, получено интегрированием объемной плотности силы по пути движения жидкости и, следовательно, имеет смысл объемной плотности энергии, т. е. энергии, отнесенной к единице объема. Однако, поскольку размерность всех слагаемых есть размерность давления, они называются давлениями.

Первое слагаемое u²/2 представляет собой объемную плотность кинетической энергии движущейся жидкости и называется динамическим давлением. Второе слагаемое р имеет смысл объемной плотности потенциальной энергии давления и называется статическим давлением. Наконец, третье слагаемое z, представляющее собой объемную плотность потенциальной энергии положения, называется геометрическим давлением.

Таким образом, уравнение Бернулли является математическим выражением закона сохранения энергии для трубки тока несжимаемой идеальной жидкости и показывает, что суммарная механическая энергия, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, по длине трубки тока остается постоянной. Этот результат объясняется, во-первых, тем, что при движении идеальной жидкости не действуют силы трения, и, следовательно, отсутствуют потери энергии на трение и, во-вторых, тем, что через поверх­ность трубки тока жидкость не проходит и, следовательно, отсутствует обмен энергией с окружающей жидкостью.

В соответствии с уравнением Бернулли различные виды энергии могут переходить один в другой. Например, при горизонтальном движении жидкости, т. е. при z = const, ускорение потока приводит к уменьшению статического давления и, наоборот, при уменьшении скорости статическое давление возрастает. На этом, в частности, основано действие различных приборов для измерения расхода жидкости и скорости ее движения, например, пневмометрических трубок.

Н а рис. 8.4 показана схема трубки Пито–Прандтля, широко используемой для измерения скоростей в потоках жидкостей и газов. Трубку устанавливают навстречу потоку. При этом в плоскости центрального лобового отверстия в сечении 1 – 1 скорость будет равной нулю, а потому давление, измеряемое манометром, подсоединенным к выводу 1 и называемое полным давлением, в соответствии с уравнением Бернулли будет равно сумме динамического и статического давлений р₀ = u²/2 + р. В плоскости отверстий, расположенных в сечении 2 – 2, давление равно статическому давлению р, которое можно измерить, если подсоединить манометр к выводу 2. Таким образом, разность между полным давлением p₀ и статическим р (ее можно непосредственно измерить с помощью дифференциального манометра) представляет собой динамическое давление u²/2, определив которое, легко найти скорость потока и.

Уравнение Бернулли иногда записывают и в другой форме, которую можно получить, если обе части уравнения (8.8) разделить на удельный вес  = g. Тогда получим

u²/2g + p/ + z = const. (8.9)

При такой записи каждое из слагаемых имеет смысл энергии, отнесенной к единице веса жидкости, размерность в метрах и называется напором; u²/2g – динамический (или скоростной) напор; p/ – статический напор; z – геометрический напор. Поскольку вес не определяет количество вещества (в отличие от объема или массы), использование уравнения Бернулли в форме (8.9) неудобно.

Л.7.