Глава 2 динамика идеальной жидкости

1. Силы, действующие в движущейся идеальной жидкости

В движущейся идеальной жидкости действуют силы трех видов: внешние массовые, давления и инерции.

Внешние массовые силы, как об этом свидетельствует их название, приложены к жидкости со стороны окружающей среды, а величина их пропорциональна массе жидкости. Наиболее распространенным примером внешних массовых сил является гравитационная сила, однако это могут быть и силы другой, например, электромагнитной природы.

Сила давления, как будет показано ниже, возникает тогда, когда в жидкости имеет место неоднородное распределение давления. Это поверхностная сила, т. е. она действует на поверхности и величина ее пропорциональна поверхности, на которую действует давление. Поверхностной плотностью, т. е. напряжением этой силы является давление.

Заметим, что и внешние массовые силы, и силы давления могут действовать как в движущейся, так и в неподвижной жид­кости.

Инерционные силы возникают только тогда, когда движение жидкости не является прямолинейным и равномерным. Это также массовые силы, т. е. величина их пропорциональна массе движущейся жидкости.

Л.5.

2. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, называемые уравнениями Эйлера, представляют собой математическое выражение второго закона Ньютона, т. е. закона сохранения количества движения (импульса). При выводе этих уравнений рассмотрим силы, приложенные к жидкому объему, и на основании закона сохранения импульса приравняем равнодействующую этих сил к изменению количества движения этого объема за единицу времени. Жидким объемом назовем элементарный движущийся объем жидкости dV, величина и форма которого могут изменяться, а масса dV остается постоянной.

Итак, выделим в потоке жидкости контрольный объем в виде элементарного прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz (рис. 8.1). Рассмотрим вначале силы, действующие на этот объем в направлении оси х, т. е. проекции сил на эту ось.

Внешняя массовая сила dF_вн. x пропорциональна массе рассматриваемого объема dM = dV, т. е. dF_вн. x = XdV, где коэффициент пропорциональности X, м/с², имеет смысл внешней массовой силы (точнее, ее проекции на ось х ), отнесенной к единице массы, т. е. массовой плотности этой силы, или ускорения этой силы.

В плоскости левой грани параллелепипеда действует давление р, в плоскости правой грани, находящейся на расстоянии dx от нее, давление будет равно р + (др/дх ) dx.

Соответствующие силы давления равны произведению давления на площадь грани. Таким образом, результирующая величина силы давления (в проекции на ось х) будет равна

Из этого результата следует, как об этом было указано выше, что сила давления в жидкости действует только при наличии неоднородного распределения давления.

Таким образом, равнодействующая внешних сил, приложенных к рассматриваемому объему, равна сумме внешней массовой силы и силы давления. На основании закона сохранения импульса приравняем эту величину к производной от импульса по времени, а затем постоянную массу dM = dV вынесем за знак производной. В результате вместо производной от импульса по времени получим произведение массы dV на производную от скорости по времени du/dt, т. е. на ускорение:

 ,

или, подставляя в правую часть вместо сил полученные для них выражения, Н:

.

(а)

Заметим, что величина проекции ускорения du/dt на ось х представляет собой полную, т. е. субстанциальную производную соответствующей компоненты вектора скорости по времени, равную сумме локальной и конвективной производных

du/dt = ди/дt + иди/дх + vди/ду + wди/дz.

(8.1)

Разделив обе части уравнения (а) на массу контрольного объема dV, получим, м/с²:

.

(8.2)

Каждое слагаемое в этом уравнении представляет собой теперь уже силу, отнесенную к единице массы, т. е. массовую плотность силы (по-прежнему в проекции на ось х), имеющую размерность ускорения.

Совершенно такие же рассуждения позволяют получить уравнения, аналогичные (8.2), для двух других осей координат:

(8.3)

(8.4)

В этих уравнениях dv/dt и dw/dt – субстанциальные производные проекций вектора скорости на оси у и z по времени соответственно. При этом

dv/dt = дv/дt + uдv/дx + vдv/дy + wдv/дz,

(8.5)

dw/dt = дw/дt + uдw/дx + vдw/дy + wдw/дz.

(8.6)

Величины Y и Z представляют собой проекции на оси y и z соответственно вектора массовой плотности внешней массовой силы, т. е. ускорения этой силы.

Выражения (8.2), (8.3) и (8.4) – это уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости, записанные в проекциях на соответствующие оси координат. Умножив каждое из этих уравнений на соответствующий единичный вектор и затем почленно сложив их, получим уравнение Эйлера в векторной форме

(8.7)

Левая часть этого уравнения, субстанциальная производная вектора скорости по времени, представляет собой вектор, проекциями которого на оси координат являются субстанциальные производные компонент вектора скорости по времени, определяемые равенствами (8.1), (8.5) и (8.6).

Каждое из слагаемых в уравнении (8.7) имеет смысл массовой плотности соответствующей силы. Левая часть есть массовая плотность силы инерции, первое слагаемое в правой части – массовая плотность внешней массовой силы, наконец, последнее слагаемое в правой части – массовая плотность силы давления.

Форма уравнения Эйлера не зависит от того, является ли жидкость сжимаемой или несжимаемой, поскольку объемная деформация, т. е. сжатие или расширение идеальной жидкости, в связи с отсутствием вязкости не приводит к появлению каких-либо новых сил.