Свободные турбулентные струи

В современных высокоинтенсивных агрегатах струйные потоки практически всегда являются турбулентными. К задачам, связанным со струйным движением жидкостей и газов, относятся задачи о распространении факелов в камерах печей, о струйном нагреве и охлаждении металла, о продувке жидкого металла газами и др.

Наиболее простой случай турбулентного струйного потока – свободная турбулентная струя, распространяющаяся вдали от твердых поверхностей. Если при этом струя истекает в пространство, заполненное средой с теми же физическими свойствами, что и жидкость, образующая струю, то такая свободная турбулентная струя называется затопленной.

На рис. 11.9 показана схема свободной турбулентной струи. Эта схема одинаково справедлива как для осесимметричной струи, истекающей из круглого сопла радиусом r₀, так и для плоской струи, истекающей из щелевого сопла, половина ширины которого равна b₀. Начиная со среза сопла, в струе образуется свободный турбулентный пограничный слой (заштрихованная зона на рис. 11.9), который по мере удаления от сопла расширяется как в сторону невозмущенного потока внутри струи, так и в сторону неподвижной окружающей среды. Это расширение происходит в результате поперечного переноса импульса, что приводит к вовлечению в струю неподвижной окружающей среды на внешних границах и к сужению зоны невозмущенного потока внутри струи. Эта зона, называемая потенциальным ядром, перестает существовать в конце участка I (начального участка струи), где свободный пограничный слой заполняет уже все поперечное сечение струи. На переходном участке II продолжается перестройка поперечного профиля скорости в струе. Наконец, на основном, или автомодельном участке струи III поперечные профили скорости приобретают важное свойство, заключающееся в следующем.

Если поперечные профили скорости, измеренные в различных поперечных сечениях основного участка осесимметричной свободной турбулентной струи (рис. 11.10, а), представить в безразмерных координатах и/и_m = φ (r/R), где и_m – скорость на оси в данном поперечном сечении; R – радиус струи в этом сечении, то все эти профили лягут на одну и ту же кривую (рис. 11.10, б). Это свойство называется свойством подобия или автомодельности поперечных профилей скорости на основном участке струи. В связи с этим основной участок струи часто называют автомодельным. Тем же свойством обладают поперечные профили скорости и на основном участке плоской струи; представленные в координатах и/и_m = φ (у/В), где и_m – скорость в осевой плоскости струи, В – половина ширины струи, они сливаются в одну кривую.

Д ля того чтобы объяснить причину автомодельности поперечных профилей скорости на основном участке свободных турбулентных струй, заметим, что гипотетические струи-источники, истекающие из отверстий бесконечно малого размера, являются автомодельными на всем их протяжении в связи с тем, что в этих течениях нет характерного размера. Понятно, что струи, истекающие из сопел конечного размера, становятся автомодельными, начиная с некоторого, достаточно большого расстояния от сопла, где его конечный размер практически перестает влиять на развитие течения.

В ажным свойством свободных турбулентных струй является прямолинейность их границ. Это означает, что радиус поперечного сечения осесимметричной струи и полуширина плоской струи нарастают по их длине линейно, т. е. R = r₀ + сх и В = b₀ + сх. Это свойство обусловлено, по существу, тем, что в свободных турбулентных струях отсутствует зона ламинарного течения, т.е. ламинарный подслой. Как было показано выше, толщина турбулентного пристеночного пограничного слоя слабее зависит от числа Рейнольдса, чем толщина ламинарного пограничного слоя. В выражении (11.22, а) Re фигурирует в степени 0,5, а выражении (11.26, а) – лишь в степени 0,2. Причина этого различия заключается в том, что сила молекулярного (т.е. обусловленного молекулярным переносом импульса) трения, учитываемая в числе Рейнольдса, действует лишь в ламинарном подслое, составляющем малую часть толщины турбулентного пограничного слоя на твердой поверхности. Понятно, что толщина свободного турбулентного пограничного слоя, в котором ламинарный подслой отсутствует, не будет зависеть от молекулярного трения и, следовательно, от числа Рейнольдса, а, следовательно, будет линейно расти с увеличением координаты x (см. выражение (11.26,а)).

В связи с тем, что свободные струйные течения представляют собой частный случай свободного пограничного слоя, давление поперек таких течений не изменяется, и, следовательно, во всем поле течения струи оно постоянно и равно давлению в окружающей среде. Таким образом, в свободных турбулентных струях отсутствуют силы давления. Кроме этого, на границах струи отсутствуют и силы трения. Это объясняется тем, что на указанных границах обращается в ноль не только скорость, но и ее производная по поперечной координате.

Отсутствие этих сил означает, что для любого участка струи, выделенного двумя поперечными сечениями, находящимися на любом расстоянии одно от другого, равнодействующая внешних сил будет равна нулю, а следовательно, будет равен нулю и результирующий поток импульса. Иными словами, потоки импульса, проходящие через эти сечения, будут равны. Таким образом, важнейшим свойством свободной струи является сохранение потока импульса по ее длине: во всех поперечных сечениях струи поток импульса будет одним и тем же, т. е. равным потоку импульса в начальном сечении струи на выходе из сопла.

Л. 24.

Указанные свойства свободных турбулентных струй лежат в основе интегральных методов расчета этих течений. Проведем с помощью такого метода расчет основного участка осесимметричной свободной турбулентной струи, истекающей из сопла диаметром 2r₀ со скоростью u₀, постоянной по площади выходного сечения сопла.

В результате расчета найдем закон изменения скорости на оси струи, т. е. функцию и_m(х), распределение двух компонент скорости в поле течения струи и(х, r) и v(х, r), изменение по длине струи расхода (х) и потока кинетической энергии Е_к (х).

Исходным пунктом расчета, как и для пристеночного пограничного слоя, является интегральное соотношение, выражающее закон сохранения импульса и заключающееся в том, что поток количества движения, проходящий через поперечное сечение струи, не изменяется по ее длине и, следовательно, остается равным начальному потоку импульса, т. е.

(а)

Помимо этого, будем пользоваться свойством автомодельности поперечных профилей скорости на основном участке: и/и_m = φ (r/R), или, обозначая r/R = φ,

и/и_m = φ (η).

(б)

Учтем также, что радиус струи линейно нарастает по ее длине, т. е.

R = r₀ + сх,

(в)

где с – постоянный коэффициент, представляющий собой тангенс половины угла раскрытия струи.

Поток импульса I через поперечное сечение струи, фигурирующий в уравнении (а), найдем, проинтегрировав по площади сечения S плотность потока импульса ρи²:

где s – текущее значение площади. Для круглой струи s = πr², откуда ds = 2πr dr, и для потока импульса с учетом постоянства плотности получаем

Для представления подынтегрального выражения в безразмерном виде вынесем за знак интеграла не зависящие от текущего радиуса r величины и²_т и R², тогда получим

или, учитывая, что и/и_m есть одна и та же функция φ от безразмерной координаты η = у/R, изменяющейся в поперечном сечении струи от 0 до 1,

Заметим, что интеграл в правой части этого выражения представляет собой постоянную величину, т. е. число, так как φ (η) не зависит от х, а пределы интегрирования также являются числами. Обозначим эту постоянную K₁ и заметим, что ее легко найти, если аппроксимировать безразмерный профиль скорости φ (η) какой-либо подходящей функцией. Например, для этой цели часто используют так называемый профиль Шлихтинга u/u_m ≡ ≡ φ (η) = (1 – η ^3/2)².

Итак, для потока импульса через любое поперечное сечение основного участка струи получаем выражение

приравняв которое в соответствии с уравнением (а) к начальному потоку импульса I₀ = = ρи²₀πr²₀, получим после сокращений и с учетом выражения (в) для радиуса струи формулу для изменения осевой скорости по длине струи

(11.30)

В соответствии с полученным результатом на основном участке осевая скорость изменяется по длине струи по гиперболическому закону, т. е. уменьшается обратно пропорционально расстоянию от сопла.

Выражение (11.30) легко представить в безразмерном виде. Действительно, разделив обе его части на u₀, а также числитель и знаменатель правой части – на r₀, получим

(11.30,а)

Формула (11.30,а) показывает, что изменение безразмерной осевой скорости и_m/u₀ в функции безразмерного расстояния от сопла х/r₀ описывается для всех осесимметричных струй одной и той же кривой, независимо от начальной скорости струи u₀ и от размера сопла r₀. Это важное свойство свободных турбулентных струй часто формулируют следующим образом: свободная турбулентная струя автомодельна по отношению к начальному числу Рейнольдса. Смысл приведенной формулировки заключается в том, что безразмерные характеристики струи, например безразмерные скорости, зависят от безразмерных координат одинаковым образом для всех свободных турбулентных струй одной и той же геометрии (например, для всех осесимметричных струй), независимо от величины начального числа Рейнольдса Re₀ = u₀r₀/ν.

Закон изменения осевой скорости по длине струи (11.30) позволяет с использованием функции φ (η), аппроксимирующей автомодельный профиль скорости, найти в каждой точке струи продольную компоненту скорости и (х, у), а затем с помощью уравнения неразрывности легко определить и распределение поперечной компоненты.

Расход через поперечные сечения струи, м³/с, найдем следующим образом:

или, представляя подынтегральное выражение в безразмерной форме,

Легко видеть, что интеграл в правой части последнего равенства также представляет собой число, которое обозначим К₂. Учитывая этот факт и подставляя сюда вместо и_m выражение (11.30), а вместо радиуса струи закон его изменения по длине, после сокращений получим

или, учитывая, что πr²₀и²₀ = , где – начальный расход на выходе из сопла,

(11.31)

Таким образом, расход линейно нарастает по длине струи в связи с вовлечением в движение (подсосом) окружающей среды.

Рассчитаем теперь изменение потока кинетической энергии по длине струи. Плотность потока кинетической энергии, т. е. энергия, переносимая через единицу поверхности за единицу времени, очевидно, представляет собой половину произведения плотности потока массы ρи на квадрат скорости, т. е. эта величина равна ρи³/2. Проинтегрировав ее по площади поперечного сечения струи, найдем поток кинетической энергии, Вт:

т. е. энергию, проходящую через все поперечное сечение струи за единицу времени.

Представляя, как и ранее, подынтегральное выражение в безразмерной форме, получим

или

И нтеграл в правой части этого равенства также является константой. Обозначив ее К₃ и используя законы изменения и_m и R по длине струи, получим

или, учитывая, что начальный поток кинетической энергии на выходе из сопла составляет E_к0 = πr₀²ρи³₀/2,

(11.32)

Полученный результат показывает, что поток кинетической энергии по длине основного участка струи уменьшается обратно пропорционально расстоянию от сопла. Он имеет большое значение, поскольку объясняет причину движения жидкости в струе: это движение происходит за счет избытка кинетической энергии, которая расходуется на вовлечение в струю окружающей среды.

На рис. 11.11 показано изменение основных характеристик свободной осесимметричной турбулентной струи по ее длине.

Аналогичным образом может быть проведен расчет плоской свободной турбулентной струи. При этом отличие от приведенного расчета сводится к тому, что элемент площади поперечного сечения струи определяется как ds = dy, т. е. размер по оси z принимается равным единице.

Легко показать, что результаты такого расчета аналогичны данным, полученным для осесимметричной струи, однако в плоской струе расход нарастает пропорционально , а осевая скорость и поток кинетической энергии уменьшаются обратно пропорционально , т. е. плоская струя затухает медленнее осесимметричной. Это отличие объясняется меньшей поверхностью соприкосновения плоской струи с неподвижной окружающей средой и, следовательно, меньшей интенсивностью подсоса вещества из окружающей среды.