Турбулентный пограничный слой на твердой поверхности

Как и для ламинарного пограничного слоя, задача заключается в том, чтобы определить, как изменяется по длине пластины толщина турбулентного пограничного слоя, найти распределение осредненных скоростей и касательное напряжение трения на поверхности. Для этого воспользуемся уравнением потока количества движения (11.18). Так же как и ранее, для решения этой задачи необходимо знать распределение скорости по толщине пограничного слоя и связь между касательным напряжением трения на поверхности и толщиной пограничного слоя.

Распределение скорости по толщине турбулентного пограничного слоя существенно отличается от ее распределения в ламинарном слое (рис. 11.8). В связи с тем, что интенсивность турбулентного переноса импульса значительно превышает интенсивность молекулярного переноса, градиент скорости в турбулентном пограничном слое имеет на большей части его толщины, т. е. в собственно турбулентной зоне, значительно меньшую величину, а в непосредственной близости к стенке, т. е. в ламинарном подслое, скорость резко падает до нуля на поверхности. Для описания этого распределения широко используют эмпирическую формулу Прандтля, которая хорошо согласуется с экспериментальными данными в широком диапазоне чисел Рейнольдса и в различных условиях турбулентного течения. Эта формула имеет следующий вид:

и = и₀ (у/δ)^1/7,

(11.24)

где δ – толщина турбулентного пограничного слоя.

Для описания связи между касательным напряжением трения на поверхности τ_w и толщиной турбулентного пограничного слоя воспользуемся также весьма универсальной эмпирической формулой Блазиуса

(11.25)

где Re_δ – число Рейнольдса, в котором роль характерного размера играет толщина турбулентного пограничного слоя, Re_δ = u₀δ/ν.

Подставляя выражения (11.24) и (11.25) в уравнение Кармана (11.18), получим дифференциальное уравнение для толщины турбулентного пограничного слоя

откуда, разделяя переменные и интегрируя, получаем

Критическое расстояние от передней кромки пластины, в конце которого возникает турбулентный пограничный слой, определяется, исходя из критического значения числа Рейнольдса

В связи с тем, что ν – величина очень малая, а скорости, встречающиеся на практике, велики, примем, что x_кр = 0, т.е. что турбулентный пограничный слой начинается на передней кромке пластины, δ(0) = 0, откуда находим значение постоянной интегрирования С = 0. Таким образом, выражение для изменения по длине пластины толщины турбулентного пограничного слоя имеет вид

(11.26)

или в безразмерной форме

(11.26,а)

Сравнивая эти выражения с формулами для толщины ламинарного пограничного слоя (11.22), (11.22,а), видим, что по мере удаления от передней кромки пластины толщина турбулентного пограничного слоя растет значительно быстрее, чем ламинарного, что и естественно, так как интенсивность турбулентного переноса импульса (ν_т) значительно выше интенсивности молекулярного переноса (ν).

Что касается влияния на толщину турбулентного пограничного слоя кинематического коэффициента вязкости ν и скорости невозмущенного потока u₀, то оно качественно такое же, как и в случае ламинарного пограничного слоя: δ увеличивается при увеличении ν и уменьшается при увеличении u₀. Это объясняется теми же причинами, что и при ламинарном режиме. Однако влияние указанных параметров на толщину турбулентного пограничного слоя значительно слабее, чем в случае ламинарного слоя.

Более слабое влияние кинематического коэффициента вязкости ν обусловлено тем, что молекулярный перенос импульса, интенсивность которого характеризует эта величина, фактически имеет место лишь в ламинарном подслое.

Ослабление влияния скорости невозмущенного потока u₀ на толщину турбулентного пограничного слоя объясняется тем, что увеличение скорости, как и при ламинарном режиме, увеличивает интенсивность продольного конвективного переноса импульса, но одновременно увеличивает и интенсивность поперечного переноса импульса в турбулентной зоне, т. е. величину турбулентного кинематического коэффициента вязкости ν_т, что частично компенсирует влияние увеличения скорости.

Действительно, среднее по толщине пограничного слоя значение пути смешения l_u, фигурирующего в выражении (11.16), пропорционально толщине пограничного слоя, так как l_u ~ y, а среднее значение поперечного градиента скорости пропорционально u₀ и обратно пропорционально δ, таким образом, из (11.16) получаем

ν_т ~ u₀δ ,

(11.27)

что и свидетельствует о возрастании ν_т при увеличении u₀.

Выражение (11.26) вместе с формулой Прандтля (11.24) дает возможность найти в явном виде распределение продольной компоненты скорости и (х, у), после чего с помощью уравнения неразрывности можно найти распределение поперечной компоненты v (х, у).

Подставляя выражение для толщины турбулентного пограничного слоя (11.26) в формулу Блазиуса (11.25), определим, как изменяется по длине пластины касательное напряжение трения на поверхности

(11.28)

Таким образом, и в случае турбулентного пограничного слоя касательное напряжение трения на поверхности уменьшается по длине пластины, что также объясняется увеличением толщины пограничного слоя. Однако, несмотря на то, что δ растет вдоль поверхности быстрее, чем при ламинарном режиме, τ_w уменьшается медленнее. Причина – увеличение ν_т, обусловленное также увеличением толщины турбулентного пограничного слоя (11.27).

Влияние кинематического коэффициента вязкости ν на τ_w также слабее, чем при ламинарном режиме, так как молекулярный механизм переноса импулься действует только в ламинарном подслое, а вот влияние скорости сильнее в связи с тем, что увеличение скорости u₀ не только увеличивает поперечный градиент скорости, но и приводит к возрастанию интенсивности турбулентного переноса импульса (11.27).

Для практических расчетов, в частности, для расчетов процессов тепло- и массообмена в турбулентном пограничном слое, важно знать не только локальное, изменяющееся от точки к точке значение касательного напряжения на стенке, но и среднее по поверхности тела значение этой величины. В случае неограниченной плоской пластины осреднение любой величины по поверхности означает осреднение по некоторой длине. Найдем среднее по длине L значение касательного напряжения трения на поверхности пластины

Подставляя в это выражение формулу (11.28) для локального значения τ_w и выполняя интегрирование, получим

(11.29)

где Re_L = u₀L/ν.

Результаты, полученные в этой главе, будут широко использоваться при рассмотрении процессов конвективного тепло- и массообмена. Кроме того, они позволяют непосредственно рассчитать пограничные слои, образующиеся на поверхности металла в протяжных и проходных печах, а также приближенно оценить их характеристики применительно к печам, в которых металл омывается неоднородным потоком газа, например, методическим, мартеновским и др.

Л. 23.