Ламинарный пограничный слой на твердой поверхности

Цель этого расчета заключается в том, чтобы, используя уравнение потока количества движения (11.19), найти изменение толщины пограничного слоя по длине пластины, т. е. функцию δ(х), распределение скоростей и и v в пограничном слое и касательное напряжение трения на поверхности τ_w(х).

Очевидно, что для нахождения функции δ(х) необходимо знать, как распределена скорость и по толщине пограничного слоя, так как только при этом условии можно вычислить интеграл в левой части уравнения (11.19) и определить производную в правой его части.

Однако оказывается, что совершенно не обязательно знать точную форму поперечного профиля скорости. Вполне достаточно приближенно описать функцию и(у) так, чтобы она соответствовала основным граничным условиям для профиля скорости. Возможность такой аппроксимации неизвестных функций является одним из основных преимуществ интегральных методов теории пограничного слоя.

Используем для аппроксимации поперечного профиля скорости в пограничном слое полином третьей степени

и (у) = а + by + су² + dy³,

(11.20)

где постоянные коэффициенты а, b, с и d должны быть определены из известных заранее граничных условий для распределения скорости. Этими граничными условиями являются следующие:

1) при у = 0 и = 0;

2) при у = 0 = 0;

3) при у = δ u = u₀;

4) при у = δ = 0.

Первое из этих условий является очевидным и выражает условие прилипания. Второе условие является следствием уравнения Прандтля для ламинарного пограничного слоя (11.5). Действительно, в связи с тем, что на поверхности пластины и = 0 и v = 0 (пластина непроницаема), из уравнения (11.5) получаем, что (д²u/дy²)_y= 0 = 0. Таким образом, здесь косвенно используем точные уравнения пограничного слоя для приближенного решения, выполняемого с помощью интегрального метода.

Третье условие также является очевидным, а четвертое представляет собой условие плавного перехода переменной в пределах пограничного слоя скорости и в постоянную скорость невозмущенного потока u₀.

Используя первое условие, получаем а = 0; из второго условия следует, что с = 0. Третье и четвертое условия дают систему из двух уравнений с двумя неизвестными b и d, решая которую находим

Подставляя эти результаты в выражение (11.20), получаем приближенную формулу для профиля скорости

(11.21)

или в безразмерном виде

(11.21,а)

Подставляя полученное выражение для и в уравнение Кармана (11.19) и выполняя интегрирование в левой его части и дифференцирование в правой, получим следующее дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя

или, разделяя переменные и производя необходимые сокращения,

откуда, интегрируя, находим

Значение постоянной интегрирования С определяем из того очевидного условия, что при х = 0, т. е. на передней кромке пластины, δ = 0. При этом получаем С = 0.

Таким образом, изменение толщины ламинарного пограничного слоя по длине пластины выразится формулой

(11.22)

или в безразмерной форме

но величина u₀x/ν представляет собой число Рейнольдса Re_x, в котором роль характерного размера играет координата x, т. е. расстояние от передней кромки пластины. Поэтому последнюю формулу можно записать в виде

δ/x = 4,64/Re_x^0,5.

(11.22,a)

Полученное выражение показывает, что условие δ << х, лежащее в основе всей теории пограничного слоя, выполняется, если число Рейнольдса очень велико. Таким образом, теория пограничного слоя представляет собой теорию движения реальной жидкости при больших значениях числа Рейнольдса.

Заметим, что именно это обстоятельство определяет практическое значение этой теории. Действительно, современные технологические процессы, в частности металлургические, происходят с высокой интенсивностью, при высоких скоростях движения участвующих в них сред, т. е. при больших значениях числа Рейнольдса.

Полученные результаты показывают также, что толщина пограничного слоя увеличивается при повышении кинематического коэффициента вязкости жидкости и уменьшается при увеличении скорости невозмущенного потока. Первый из указанных эффектов объясняется тем, что увеличение коэффициента молекулярного переноса импульса означает повышение интенсивности поперечного переноса количества движения, что приводит к более интенсивному проникновению возмущающего (тормозящего) влияния стенки в невозмущенный поток и, следовательно, к увеличению толщины пограничного слоя. Второй эффект обусловлен тем, что при повышении скорости невозмущенного потока увеличивается интенсивность конвективного продольного переноса импульса. При этом невозмущенный поток более интенсивно внедряется в пограничный слой, уменьшая его толщину.

Заметим, что число Рейнольдса может рассматриваться как величина, характеризующая соотношение интенсивностей процессов конвективного продольного и молекулярного поперечного переноса импульса.

Формула (11.22) позволяет найти распределение обеих компонент вектора скорости в пограничном слое. Действительно, подставляя эту формулу в выражение (11.21), легко определить в явном виде распределение продольной компоненты скорости и (х, у), после чего из уравнения неразрывности можно найти распределение поперечной компоненты v (х, у).

Зная толщину пограничного слоя, легко также найти выражение для касательного напряжения трения на поверхности пластины, т. е. оценить, какое сопротивление оказывает твердая поверхность при ламинарном движении жидкости вдоль нее. Действительно, используя формулу Ньютона для касательного напряжения трения и выражение (11.21) для поперечного распределения скорости, получаем

откуда с помощью формулы для толщины пограничного слоя (11.22) находим

(11.23)

Как видно из этих формул, касательное напряжение трения на поверхности пластины уменьшается по длине последней обратно пропорционально x^0,5, что объясняется ростом толщины пограничного слоя. Что касается зависимости τ_w от двух параметров задачи u₀ и ν, то касательное напряжение трения на стенке резко возрастает при увеличении скорости невозмущенного потока (τ_w ~ u₀^1,5) в связи с увеличением поперечного градиента скорости на стенке и оказывается тем большим, чем больше кинематический коэффициент вязкости (τ_w ~ ν^0,5), так как ν характеризует интенсивность молекулярного поперечного переноса импульса, а τ_w представляет собой плотность потока импульса на стенке.

Заметим, что формула (11.23) дает возможность сравнить полученное приближенное решение с точным, найденным интегрированием уравнений Прандтля (11.5). Оказывается, что точное решение для τ_w имеет тот же вид, что и приближенное, и лишь величина численного множителя отличается на 3%.

Л. 22.