6. Расчеты пограничных слоев на основе интегральных методов Уравнение потока количества движения для пограничного слоя

Характеристики пограничного слоя, включая закон изменения его толщины, распределение скорости и величину касательного напряжения трения на поверхности, можно приближенно определить, не прибегая к интегрированию уравнений Прандтля, а используя эти уравнения лишь косвенно. Именно эту задачу и позволяет решить уравнение потока импульса для пограничного слоя, называемое часто уравнением Кармана.

В ывод этого уравнения основан на уже применявшемся законе сохранения импульса для потока жидкости, который формулируется следующим образом: результирующий поток количества движения через неподвижную замкнутую поверхность, выделенную в движущейся жидкости, равен равнодействующей внешних сил, приложенных к этой поверхности.

В стационарном потоке несжимаемой жидкости вблизи плоской пластины (рис. 11.7) выделим контрольную поверхность плоскостями 1 – 2 и 3 – 4, перпендикулярными к оси х и находящимися одна от другой на расстоянии dx, плоскостью 2 – 3, параллельной плоскости х 0z (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) и отстоящей от поверхности пластины на расстояние L, превышающее толщину пограничного слоя в данном сечении (L > δ) и самой поверхностью пластины 1 – 4. Размер выделенного параллелепипеда в направлении оси z примем равным единице.

Определим результирующий поток импульса через поверхность этого параллелепипеда, т. е. алгебраическую сумму потоков количества движения через все его грани. При этом будем считать поступающие вместе с втекающей в параллелепипед жидкостью потоки импульса положительными, а уходящие – отрицательными.

Вначале подсчитаем поток импульса, поступающий в параллелепипед через грань 1 – 2. Через единицу этой поверхности в единицу времени проходит масса ρи (плотность потока массы), а через элемент поверхности dy•1 – масса ρиdy. Умножив эту массу на и получим поток количества движения через элемент поверхности ρи² dy. Ясно, что так как и = и (у), то поток количества движения через всю поверхность 1 – 2 с учетом принятого правила знаков выразится следующим образом:

На протяжении расстояния dx эта величина получит приращение

и поток импульса через грань 3 – 4 с учетом того, что жидкость через эту грань вытекает, будет равен

Через поверхность пластины 1 – 4 движение жидкости отсутствует, но через плоскость 2 – 3 жидкость может проходить. В связи с тем, что в сечении 3 – 4 толщина пограничного слоя больше, чем в сечении 1 – 2, поток массы жидкости (массовый расход), поступающий в параллелепипед через грань 1 – 2 ( ) превышает поток массы, вытекающий через грань 3–4 ( ). Отсюда следует, что через грань 2 – 3 жидкость покидает параллелепипед, и, таким образом, в соответствии с принятым правилом знаков поток импульса через эту грань должен быть отрицательным. Эту величину можно определить как поток массы жидкости, проходящий через грань 2 – 3 ( ), умноженный на величину скорости в плоскости этой грани, т. е. на скорость невозмущенного потока u₀: = – u₀. Так как жидкость несжимаема, то количество жидкости, поступающее в параллелепипед за единицу времени, должно быть равно количеству жидкости, выходящему из него, т. е. = – , но = , а может быть выражена как эта же величина плюс ее приращение на расстоянии dx, т. е.

тогда

Таким образом, поток количества движения через плоскость 2 – 3 определится как

I

или, с учетом постоянства u₀,

В соответствии с законом сохранения количества движения имеем

(11.17)

где dF_тр – сила трения, действующая на параллелепипед по поверхности пластины 1 – 4; это единственная внешняя сила, приложенная к поверхности параллелепипеда, так как трения в плоскости 2 – 3 нет (дu₀/ду = 0), а статическое давление по координате х, как было показано выше, постоянно. Очевидно, что dF_тр = τ_w dx, где τ_w – касательное напряжение трения на поверхности пластины.

Подставляя в уравнение (11.17) выражения для , , и dF_тр, имеем

Откуда, производя очевидные сокращения и объединяя однородные члены, получаем уравнение

которое непосредственно выражает закон сохранения количества движения: отнесенное к единице поверхности пластины изменение избыточного потока количества движения, переносимого конвекцией вдоль пластины, равно касательному напряжению трения на ее поверхности.

Учитывая, что жидкость несжимаемая (ρ = const) и что в пределах δ ≤ у ≤ L интеграл в левой части последнего уравнения равен нулю, так как в этих пределах и = u₀, получим уравнение Кармана

(11.18)

Это уравнение одинаково справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев, так как закон сохранения импульса является общим законом механики, независимо от механизма переноса количества движения.

В случае ламинарного пограничного слоя, когда касательное напряжение трения на стенке может быть выражено с помощью формулы Ньютона τ_w = , из уравнения (11.18) получаем уравнение Кармана для ламинарного пограничного слоя

(11.19)

Практическое значение уравнения Кармана заключается в том, что оно позволяет найти закон изменения толщины пограничного слоя по оси х, зная который нетрудно определить распределение скоростей и величину касательного напряжения трения на стенке.

Л. 21.