5. Полуэмпирическая теория турбулентности л. Прандтля

Эта теория построена по аналогии с молекулярно-кинетической теорией газов. Как в последней используется понятие длины свободного пробега молекул, т. е. расстояния, которое в среднем проходят молекулы между столкновениями и на протяжении которого все характеристики молекул (в том числе их количество движения) остаются постоянными, так и в теории Прандтля вводится понятие пути смещения. Под этой величиной понимается такое расстояние, на протяжении которого перемещающийся поперек потока объем жидкости, или турбулентный моль, сохраняет постоянным свое осредненное количество движения. Пройдя это расстояние, турбулентный моль скачком, т. е. пульсацией, изменяет свое количество движения, смешиваясь с окружающей жидкостью. Рассмотрим турбулентный поток, направленный по оси х и характеризующийся некоторым распределением осредненной скорости и^– по координате у (рис. 11.6). Осредненная скорость в слое 1 – 1, расположенном на расстоянии у от плоскости отсчета, равна (у), а в слое 2 – 2, находящемся на расстоянии l_u от него – (y + l_u), где l_u – путь смещения. Турбулентный моль единичного объема, который вследствие наличия поперечной пульсации скорости движется из слоя 1 – 1 в слой 2 – 2, сохраняет на протяжении расстояния l_u между ними свое осредненное количество движения, ρ (у) (ρ – масса единичного моля; (у) – его скорость в слое 1 – 1). Пройдя расстояние l_u, т. е. попав в слой 2 – 2, этот моль скачком изменяет свое количество движения на величину ρ и приобретает количество движения, соответствующее осредненной скорости в слое 2 – 2, (у + l_u), т. е.

ρ (у) + ρ = ρ (у + l_u),

или, учитывая, что ρ = const,

(у) + = (у + l_u).

Отсюда величина продольной пульсации скорости оказывается равной

= (у + l_u) – (у).

(11.11)

Разлагая величину (у + l_u) в ряд Тейлора и ограничиваясь вследствие малости l_u первыми двумя членами разложения, получим

(у + l_u) = (у) + l_u.

Подставляя этот результат в выражение (11.11), получаем формулу для продольной пульсации скорости

(11.12)

Полагаем, что поперечная пульсация скорости v близка по абсолютной величине к продольной, однако знаки этих величин должны быть противоположными. Действительно, если > 0, то это значит, что турбулентный моль перемещается снизу вверх. При этом в данный слой поступает жидкость, имеющая меньший импульс, что приводит к отрицательной пульсации продольной скорости. В противном случае, т. е. когда < 0, в данный слой поступает «быстрый» моль, и продольная пульсация будет положительна. Таким образом, имеем

(11.13)

Подставляя выражения (11.12) и (11.13) в равенство (11.10) и производя осреднение по времени, получим известную формулу Прандтля для турбулентного касательного напряжения трения

τ_т = ρl_u² (д /ду)².

(11.14)

Формула Прандтля замыкает систему уравнений турбулентного пограничного слоя, поскольку она позволяет выразить одну из неизвестных величин τ_т через другую .

Однако пока не известно, как определить величину пути смешения. Оказывается, что для пристеночного пограничного слоя формула Прандтля дает хорошие результаты, если принять l_u = ky, где у – расстояние по нормали от стенки; k – единственная эмпирическая константа в этой теории.

Наличие именно такой, линейной связи между путем смешения и расстоянием от стенки вполне объяснимо. По мере приближения к стенке расстояние беспрепятственного перемещения турбулентного моля должно уменьшаться, так как стенка гасит, демпфирует пульсации, следовательно, l_u должно расти при возрастании y. С другой стороны, эта связь может быть только линейной, так как l_u имеет такую же размерность как и y.

Для того чтобы найти величину, характеризующую интенсивность турбулентного переноса импульса, представим формулу Прандтля (11.14) в виде (10.21), т. е. в виде частного случая принципа линейности Онсагера:

(11.15)

где ν_т представляет собой коэффициент турбулентного переноса импульса, характеризует интенсивность этого процесса и называется турбулентным кинематическим коэффициентом вязкости. Сопоставляя выражения (11.14) и (11.15), видим, что

(11.16)

Таким образом, турбулентный кинематический коэффициент вязкости ν_т, в отличие от молекулярного ν, не является физическим параметром жидкости, но представляет собой гидродинамическую характеристику турбулентного потока, зависящую от его структуры и от координат.

Таким образом, рассчитать турбулентный пограничный слой на твердой поверхности можно (такие решения приведены в специальной литературе), используя уравнения (11.8) и (11.9), а также формулу Прандтля (11.14). Граничные условия при этом не отличаются от соответствующих условий для ламинарного пограничного слоя.

Однако для расчета характеристик турбулентного пограничного слоя (как и ламинарного) воспользуемся более простыми приближенными методами, известными как интегральные методы теории пограничного слоя. В основе этих методов применительно к решению гидродинамических задач пограничного слоя лежит уравнение потока количества движения.

Л. 20.