4. Уравнения Прандтля для турбулентного пограничного слоя
Задача заключается в том, чтобы получить уравнения турбулентного пограничного слоя, записанные для осредненных по времени скоростей. Здесь и в дальнейшем будем рассматривать квазистационарное турбулентное движение, т. е. такое, в котором осредненная скорость постоянна во времени.
Считаем, что уравнения ламинарного
пограничного слоя (11.5) справедливы для
актуальных, т. е. мгновенных значений
скоростей в турбулентном пограничном
слое. При этом, конечно, в левой части
первого из этих уравнений должна быть
добавлена локальная производная ди/дt,
так как актуальная скорость в турбулентном
потоке является сложной пульсирующей
функцией времени. Затем подставляем в
эти уравнения вместо актуальных значений
скоростей и и v их выражения
через oсредненные и пульсационные
скорости, т. е. и =
+
;
v =
+
.
После этого производим операцию
oсреднения по времени полученных
уравнений. В результате после простых
преобразований и учитывая, что
=
0,
=
0, и
,
д
/дt
= 0, получим
(11.7)
(11.8)
Мы видим, что уравнение неразрывности (11.8) для oсредненных скоростей имеет тот же вид, что и для ламинарного случая.
Что же касается уравнения движения (11.7), то оно существенно изменилось: в правой его части появился дополнительный член – производная по у oсредненного произведения продольной и поперечной пульсаций скорости . Эта величина имеет глубокий физический смысл, который постараемся сейчас выяснить. Запишем уравнение движения (11.7) в следующем виде:
(11.9)
Здесь τ = μ
представляет собой касательное напряжение
трения, которое обусловлено молекулярным
переносом количества движения и уже
встречалось в уравнении (11.6) для
ламинарного пограничного слоя. Новой
по сравнению с этим уравнением является
величина τт,
которая, как легко видеть из сопоставления
уравнений (11.7) и (11.9), выражается следующим
образом:
τг =
(11.10)
Эта величина, как видно из формулы (11.10), представляет собой oсредненную плотность потока количества движения, переносимого в поперечном направлении благодаря наличию поперечной пульсации скорости . Действительно, произведение ρ , кг/(м2•с), имеет смысл плотности потока массы, переносимого в направлении оси у. Умножив его на , получим, очевидно, плотность потока импульса. Величина τт называется турбулентным касательным напряжением трения.
Таким образом, в турбулентном потоке имеет место, кроме молекулярного, и турбулентный перенос количества движения, обусловленный пульсационным характером движения, в результате чего в уравнении движения появляется новая величина – турбулентное касательное напряжение трения. Причем в турбулентной зоне пограничного слоя τт >> τ, а в вязком подслое τт << τ.
Итак, гидродинамический турбулентный пограничный слой описывается системой из двух уравнений (11.8) и (11.9), которая, однако, не является замкнутой. Действительно, число неизвестных в этой системе превышает число уравнений. Неизвестными являются компоненты oсредненной скорости и , а также турбулентное касательное напряжение трения τт. Это обстоятельство делает задачу расчета турбулентного пограничного слоя в данной постановке неразрешимой.
Для того, чтобы замкнуть указанную систему, используют полуэмпирические теории турбулентности, которые позволяют на основе некоторых гипотез о механизме турбулентного переноса получить связь между oсредненными характеристиками турбулентного потока и турбулентным касательным напряжением трения. Важно отметить, что все упомянутые теории являются полуэмпирическими, т. е. в них неизбежно используются константы, которые можно получить только из эксперимента (эмпирические константы).
В настоящее время известно несколько различных полуэмпирических теорий турбулентности. Рассмотрим лишь одну из них – полуэмпирическую теорию турбулентности Л. Прандтля, которую наиболее часто используют для практических расчетов.
Л. 19.