2. Некоторые понятия кинематики

Важнейшей кинематической характеристикой жидкостей и газов является понятие вектора скорости . Так же как в механике твердого тела, эту величину можно определить как перемещение частицы жидкости (материальной точки) за единицу времени, т. е. , где – вектор перемещения частицы.

Однако более важным с точки зрения задач механики жидкостей и газов является другое определение вектора скорости, в соответствии с которым скорость жидкости в данной точке потока представляет собой объем жидкости, проходящий через единицу поверхности, расположенной нормально по отношению к этому вектору, за единицу времени, м/с:

,

где – единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости в данной точке. Таким образом, с этой точки зрения вектор скорости представляет собой вектор плотности потока объема жидкости.

П окажем, что это действительно так. Пусть в точке N вектор скорости равен  ^(рис. 7.1). За время dt площадка dS, включающая эту точку и расположенная в плоскости, ориентированной нормально по отношению к , переместится на расстояние dh = | |dt. В результате объем жидкости, прошедший за это время через указанную площадку (объем цилиндра на рис. 7.1), будет равен d²V = dh dS, или d²V = | |dt dS, откуда получим

или

Как и любую векторную величину, вектор скорости можно выразить через его проекции на оси координат: , где и, v, w – проекции вектора скорости на оси х, у, z соответственно; , , – ортогональные единичные векторы (орты).

Другой важной характеристикой потока жидкости является вектор плотности потока массы , кг/(м²с), представляющий собой массу жидкости, проходящую через единицу поверхности, расположенной нормально по отношению к этому вектору, за единицу времени. Понятно, что проекциями этого вектора на оси координат х, у и z являются, соответственно, и,v и w.

Проинтегрировав скорость по поверхности, через которую проходит жидкость, получим величину потока объема , м³/с, называемую расходом, или объемным расходом.

Точно так же, проинтегрировав плотность потока массы по поверхности, получим поток массы жидкости , кг/с, называемый также массовым расходом.

3. Уравнение неразрывности

Дифференциальное уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы, представляет собой одно из важнейших уравнений механики жидкостей и газов. Выведем это уравнение вначале для сжимаемой жидкости, а затем, в качестве частного случая, получим соответствующее уравнение для несжимаемой жидкости.

Итак, имеем произвольный поток сжимаемой жидкости, в котором произвольным образом распределены плотность  = (х, у, z, t ), вектор скорости =  (х, у, z, t ) и вектор плотности потока массы  = ( х, y, z, t ). Выделим в этом потоке в неподвижной прямоугольной системе координат элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz (рис. 7.2).

Идея вывода заключается в следующем. Вначале найдем разность между массой жидкости, поступившей в выделенный контрольный объем за элемент времени dt, и массой, покинувшей его за то же время. Затем определим изменение массы жидкости, содержащейся в этом объеме, за время dt, обусловленное изменением плотности во времени. Наконец, на основании закона сохранения массы, приравняем полученные результаты.

Масса жидкости, поступившая в параллелепипед в направлении оси х через его левую грань за время dt, т. е. величина dM_x, в соответствии с определением понятия плотности потока массы равна

dM_x = udydzdt,

г де и – проекция вектора плотности потока массы на ось х, a dydz – площадь рассматриваемой грани.

Значение плотности потока массы в плоскости правой грани параллелепипеда, расположенной на расстоянии dx от левой, очевидно, равно

,

а потому масса жидкости, которая за время dt вышла из параллелепипеда через его правую грань, выразится как

.

Таким образом, разность между массой, поступившей в контрольный объем, и покинувшей его для направления х, составит

,

где dV = dxdydz – объем параллелепипеда.

Повторяя аналогичные рассуждения для двух других направлений – у и z, найдем

, .

Очевидно, что действительное значение разности между массой жидкости, поступившей в параллелепипед, и покинувшей его за время dt, равно сумме этих трех величин, кг:

.

С другой стороны, поскольку плотность в любой точке потока изменяется во времени, следовательно, масса жидкости, содер­жащаяся в контрольном объеме dV, за время dt изменится на величину

.

Приравнивая на основании закона сохранения массы правые части этих выражений и сокращая на dVdt, получим

Выражение в квадратных скобках в правой части этого уравнения представляет собой дивергенцию вектора плотности потока массы. Таким образом, получаем уравнение

, (7.1)

физический смысл которого совершенно ясен. Поскольку представляет собой разность между массой жидкости, которая за единицу времени выходит из единичного объема, и той массой, которая за то же время в него входит, следовательно, эта разность должна быть равна (с обратным знаком) изменению массы, содержащейся в единичном объеме, за единицу времени, т. е. д/дt. Таким образом, уравнение (7.1) выражает закон сохранения массы, записанный для единицы объема и для единицы времени, и представляет собой одну из форм уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости.

Другую форму этого уравнения получим, если учтем, что дивергенция произведения скалярной функции  на векторную ыражается как . Подставляя это выражение в уравнение (7.1), будем иметь

,

или, раскрывая скалярное произведение ,

,

откуда, обозначая

, (7.2)

получим другую форму уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости

. (7.3)

Фигурирующая в этом выражении величина d/dt, представляющая собой полную производную от плотности по времени, называется субстанциальной производной. В соответствии с выражением (7.2) она включает в себя локальную производную д/дt, учитывающую нестационарность процесса, т. е. изменение плотности во времени в неподвижной точке пространства и конвективную производную , которая учитывает изменение плотности движущейся частицы жидкости во времени, обусловленное ее перемещением в пространстве в поле переменной плотности.

Л. 3.

Для случая несжимаемой жидкости, когда плотность постоянна, d/dt0, из уравнения (7.3) получаем выражение

, (7.4)

представляющее собой уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.

В практических инженерных расчетах движения жидкости и газа по трубам и каналам часто используют уравнение неразрывности, записанное в интегральной форме для всего поперечного сечения трубы или канала.

Рассмотрим стационарное течение сжимаемой жидкости по трубе, сечение которой изменяется по длине, т. е. S = S (х). Пусть — среднее по сечению трубы значение плотности потока массы, кг/(м²с), определенное очевидным образом

.

Понятно, что интеграл от плотности потока массы по площади поперечного сечения трубы представляет собой массовый расход, или поток массы, т. е. массу жидкости, проходящую через поперечное сечение за единицу времени. Поскольку рассматривается стационарный режим и стенки трубы непроницаемы, эта величина по длине трубы не изменяется, т. е.

(7.5)

Это выражение и представляет собой как раз уравнение неразрывности для стационарного потока сжимаемой жидкости в трубе переменного сечения.

В случае течения несжимаемой жидкости из уравнения (7.5) получаем

,

где – среднее по сечению значение скорости; – поток объема, т. е. расход жидкости через поперечное сечение трубы, м³/с.

Л.4.