3. Дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя (уравнения Прандтля)

Найдем уравнения, описывающие движение жидкости в пограничном слое. С этой целью рассмотрим вначале ламинарный пограничный слой на плоской поверхности (см. рис. 11.2).

Течение однородного неограниченного потока вблизи поверхности полуограниченной плоской пластины, на первый взгляд, представляется настолько идеализированным, что не может иметь прямого отношения к потокам, встречающимся в металлургической практике. Однако, на самом деле, это не только наиболее простой случай взаимодействия потока с поверхностью, но и достаточно часто встречающийся в металлургической практике случай пограничного слоя. Действительно, практически такая же ситуация реализуется в протяжных или в башенных печах, в которых металл в виде непрерывной полосы перемещается относительно неподвижной атмосферы печи, что вполне равноценно перемещению однородного потока относительно неподвижной поверхности металла. Близкая ситуация имеет место и в различных проходных, например, роликовых печах при нагреве листового металла.

В пограничном слое вектор скорости имеет проекции как на ось х, так и на ось у. В этом легко убедиться, если рассмотреть прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 11.2. Левая грань этого параллелепипеда лежит в сечении 1 – 1, правая – в сечении 2 – 2. Размер его в направлении оси z может быть любым, например, равным единице. Высота параллелепипеда, т. е. его размер по оси у, равна толщине пограничного слоя в сечении 1 – 1. Очевидно, что расход жидкости, поступающей в параллелепипед через его левую грань, где скорость изменяется от нуля до u₀, больше, чем расход жидкости, выходящей из параллелепипеда через правую грань, где скорость изменяется от нуля до величины, меньшей u₀, так как в сечении 2 – 2 толщина пограничного слоя больше, чем в сечении 1–1. Отсюда следует, что, поскольку жидкость несжимаема, разность между этими двумя количествами жидкости должна покидать параллелепипед через его верхнюю грань, т. е. должно быть перемещение жидкости в направлении оси у.

Рассматриваемое течение описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

(11.1)

(11.2)

(11.3)

Искомыми функциями в этих уравнениях являются две компоненты вектора скорости и и v и давление р.

Уравнения (11.1) и (11.2) являются уравнениями Навье–Стокса для проекций вектора скорости на оси х и у соответственно, уравнение (11.3) представляет собой уравнение неразрывности для рассматриваемого двухмерного течения. Действием внешних массовых сил (гравитационных) пренебрегаем.

Переход от системы (11.1)–(11.3) к уравнениям пограничного слоя осуществляют путем оценки порядка всех величин, входящих в эту систему и отбрасывания малых величин. Рассмотрим в общих чертах эту операцию.

В связи с малой толщиной пограничного слоя, т. е. с тем, что δ << х, логично предположить, что 0 (х) = 1; 0 (у) = δ*. При этом δ << 1. Далее, поскольку основным направлением движения является х, полагаем, что 0 (и) = 1. Для оценки порядка величины поперечной компоненты скорости используем уравнение неразрывности (11.3). При этом будем считать (и это легко доказать), что порядок п-й производной равен отношению порядка функции к порядку аргумента в степени п. В связи с тем, что и и, и х имеют порядок 1, ясно, что 0 (ди/дх) = 1, а так как оба слагаемых в левой части уравнения (11.3) должны иметь одинаковый порядок, чтобы в сумме давать ноль, получаем 0 (дv/ду) = 1. Отсюда следует, что 0 (v) = δ, так как 0 (у) = δ.

Таким образом, получаем одно из характерных свойств пограничного слоя: малость поперечной компоненты скорости по сравнению с продольной.

Для того, чтобы оценить порядок всех членов, входящих в уравнения (11.1) и (11.2), необходимо знать порядок кинематического коэффициента вязкости ν. Из самых общих соображений заключающихся в том, что в пограничном слое сила инерции и сила внутреннего трения должны быть величинами одного порядка, нетрудно получить, что 0 (ν) = δ².

Действительно, левая часть уравнения (11.1) представляет собой массовую плотность силы инерции, а второе слагаемое в правой части – массовую плотность силы трения. Поскольку, как это показано ниже, порядок первой из этих величин равен единице, вторая также должна иметь этот порядок. Но выражение в скобках имеет порядок 1/δ², следовательно, 0 (ν) = δ².

Итак, приступаем к определению порядка величин в уравнениях (11.1) и (11.2). Для этого под каждым из членов этих уравнений напишем его порядок. Порядок градиентов давления пока оценивать не будем:

Таким образом в уравнении (11.1) пренебрежимо малой величиной является , а в уравнении (11.2) все оцениваемые величины имеют порядок, не превышающий величину δ. Первое обстоятельство является также характерной чертой пограничного слоя, обусловленной его малой толщиной: изменение всех величин поперек пограничного слоя существенно превышает их изменение по продольной координате х. Второе обстоятельство означает, что 0 = δ [считаем, что 0 (ρ) = 1]. Это также характерное свойство пограничного слоя, заключающееся в том, что давление поперек пограничного слоя почти не изменяется, т. е. давление передается через пограничный слой без искажений. Таким образом, второе из рассматриваемых нами уравнений вырождается в условие постоянства давления поперек пограничного слоя.

Итак, вместо уравнений (11.1)–(11.3) получена следующая система

(11.4)

Заметим, что первое слагаемое в правой части первого уравнения, т. е. уравнения движения, уже не частная, а полная производная от давления по продольной координате, что и естественно, так как поперек потока давление не меняется.

Что касается уравнения неразрывности, то его вид не изменился: оба слагаемых – величины одного порядка.

Полученные уравнения (11.4) называются уравнениями пограничного слоя или уравнениями Прандтля. Неизвестными функциями в этой системе являются и (х, у) и v (х, у), что же касается давления, то в связи с его постоянством поперек пограничного слоя, распределение давления вдоль оси х в пограничном слое такое же, как и в невозмущенном потоке.

В связи с тем, что движение жидкости за пределами пограничного слоя подчиняется закономерностям движения идеальной жидкости, распределение давления р (х) в этой области, а следовательно, и в пограничном слое, может быть получено путем решения уравнений Эйлера. Например, для рассматриваемого случая стационарного движения вдоль плоской поверхности уравнение Эйлера для невозмущенного потока имеет вид

,

откуда получаем, что dp/dx = 0, так как du₀/dx = 0.

Следовательно, в пограничном слое на плоской поверхности dp/dx = 0, т. е. в этом случае давление в пограничном слое всюду постоянно.

Таким образом, в случае пограничного слоя на плоской поверхности уравнения Прандтля имеют вид

(11.5)

Заметим, что эта же система описывает и плоский свободный пограничный слой при ламинарном режиме движения.

Граничные условия для полученных уравнений имеют вид:

при у = 0  и = 0,  v = 0;

при у = δ  и = u₀,  ди/ду = 0,  дv/ду = 0.

В настоящее время разработаны различные как аналитические, так и численные методы решения уравнений ламинарного пограничного слоя с указанными граничными условиями. Здесь эти решения не приведены, они имеются в специальной литературе.

Для решения наиболее важных задач теории пограничного слоя в дальнейшем будем использовать упрощенные, так называемые интегральные методы, применяя которые, необходимо, однако, использовать полученные уравнения.

Необходимо отметить, что, используя формулу Ньютона для касательного напряжения трения τ = μди/ду, можно записать первое из уравнений системы (11.5) в следующем виде:

(11.6)

Л. 18.