9. Постановка задачи для расчета движения реальной жидкости

Как и в случае идеальной жидкости задачей расчета движения реальной несжимаемой жидкости является нахождение вектора скорости, или, что то же, трех его проекций и давления. Таким образом, в общем случае требуется найти четыре скалярных функ­ции координат и времени путем решения трех уравнений движения (10.28) и уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (7.4). Понятно, что при этом должны быть заданы также начальные (для нестационарного движения) и граничные условия. Что касается последних, то для скорости они являются очевидными и заключаются в том, что на твердой непроницаемой поверхности вектор скорости обращается в нуль.

Сформулированная таким образом задача чрезвычайно сложна и не имеет до сих пор общего решения. Более того, для нее не доказана и теорема о существовании и единственности решения. Однако для некоторых простейших частных случаев можно получить аналитическое решение этой задачи. Разумеется, здесь могут применяться и широко применяются численные методы решения.

Задача расчета движения реальной жидкости еще более усложняется, если жидкость является сжимаемой. В этом случае необходимо использовать уравнение движения в форме (10.29), уравнение неразрывности в форме (7.3), а также, поскольку появляется еще одна искомая функция – плотность, уравнение состояния газа. Для небаротропных течений необходимо добавить также уравнение энергии.

Весьма большая сложность задач движения реальной жидкости и необходимость решения связанных с ними практических проблем привели к созданию различных приближенных методов расчета и теорий. Наиболее распространенной из них и имеющей наибольшее практическое значение является рассматриваемая в гл. 11 теория пограничного слоя.

Л.14.

10. Стационарное установившееся ламинарное течение несжимаемой жидкости в плоском канале и в круглой трубе (течение Пуазейля)

Рассмотрим один из немногих случаев движения реальной жидкости, для которого можно получить точное аналитическое решение уравнений Навье–Стокса. Речь пойдет о стационарном ламинарном течении жидкости в канале, образованном двумя бесконечными плоскими пластинами (рис. 10.9). Практически это означает, что движение происходит в канале, высота которого (размер по оси у) очень мала по сравнению с шириной (размер по оси z), т е. 2l << 2В.

Поскольку течение стационарно, имеем д /дt = 0. Движение происходит только в направлении оси х, т. е v = w = 0. При этом из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (7.4) получаем дu/дх = 0, т. е скорость вдоль канала не изменяется. Такое течение называется установившимся или гидродинамически стабилизированным и практически реализуется на достаточно большом расстоянии от входа в канал.

Таким образом, скорость и изменяется лишь по высоте канала, т. е. является функцией только координаты у.

Запишем для рассматриваемого случая уравнения Навье–Стокса (10.27). Поскольку v = w = 0, из уравнений для осей у и z, не учитывая действия внешней массовой силы, получаем др/дy = 0 и др/дz = 0. Таким образом, давление изменяется лишь по длине канала, т. е. р = р (х). Из уравнения для оси x, учитывая уже полученные результаты, имеем

Таким образом, рассматриваемое течение происходит лишь при наличии сил давления и внутреннего трения. Сила инерции отсутствует, так как все частицы жидкости движутся прямолинейно и равномерно, а действием силы тяжести, направленной по оси у (жидкость движется горизонтально), пренебрегаем вследствие малой высоты канала.

Умножив обе части последнего уравнения на ρ, получим

μd²u/dy² = dp/dx.

Величина, стоящая в левой части, зависит только от y, а в правой – только от х. Поскольку х и у взаимно независимы, равенство этих величин может выполняться, только если обе они постоянны. Обозначив эту константу –П (так как dp/dx < 0 – давление вдоль канала уменьшается вследствие потерь на трение), получим уравнения

dp/dx = –П;

(а)

μd²u/dy² = –П.

(б)

Из уравнения (а) следует, что давление вдоль канала уменьшается линейно, а уравнение (б) позволяет найти распределение скорости по высоте канала. Для решения этой задачи необходимо задать граничные условия для скорости. Они заключаются в том, что на стенках канала скорость обращается в нуль, т. е. и (± l ) = 0, а на оси достигает максимума (см. рис. 10.9), т. е. при у = 0 du/dy = 0.

Интегрируя уравнение (б), получим du/dy = –Пу/μ + С₁, где произвольную константу интегрирования С₁ определим из граничного условия в осевой плоскости канала, что дает С₁ = 0. Таким образом, получаем

du/dy = –Пу/μ.

После вторичного интегрирования имеем

и = –Пу²/2μ + С₂.

Значение произвольной константы интегрирования C₂ найдем из граничного условия на стенках канала. Подставляя в последнее выражение у = ± l и и (±l) = 0, получим C₂ = Пl²/2. Таким образом, искомое решение имеет вид

(10.30)

или, обозначив безразмерную координату y/l = η,

(10.30,а)

Таким образом, распределение скорости в сечении канала имеет вид квадратичной параболы с вершиной в осевой плоскости канала.

Для того, чтобы представить и левую часть выражения (10.30) в безразмерном виде, найдем скорость в осевой плоскости канала. Полагая в этом выражении у = 0, получим и (0) = и_m = Пl²/2μ Таким образом, профиль скорости, представленный в безразмерной форме, имеет вид

u/u_m = 1 –η².

(10.30,б)

Для того, чтобы задача была полностью решена, остается найти значение константы П, что легко сделать, если задать еще какое-.либо условие, например, расход жидкости через поперечное сечение канала . Заметим, что, определяя величину П, мы тем самым в соответствии с выражением (а) находим изменение давления по длине канала, т. е. потери давления на трение.

Очевидно, что, поскольку по ширине канала (по оси z) скорость не изменяется, расход жидкости через поперечное сечение выражается в виде

или, так как профиль скорости симметричен относительно плоскости хOz,

Подставляя вместо скорости выражение для нее (10.28) и приводя подынтегральное выражение к безразмерному виду, получим

откуда

(10.31)

Выражение (10.31) устанавливает связь между константой П и расходом жидкости , в результате чего задача оказывается полностью решенной. Кроме того, оно позволяет найти потери давления на трение, а затем определить гидравлический коэффициент трения. Для этого найдем вначале среднюю по сечению скорость = /S, т.е.

(10.32)

Поскольку и_m = Пl²/2μ, то = 2u_m /3.

Из формулы (10.32) найдем связь между константой П и средней по сечению скоростью :

П = 3μ  /l².

(10.33)

Рассмотрим теперь два сечения канала 1–1 и 2–2, находящиеся одно от другого на расстоянии L (рис. 10.9). В первом из них давление равно р₁, во втором – p₂. Очевидно, что, поскольку динамические и геометрические давления в этих сечениях равны, то p_тр = р₁ – p₂ = –L dp/dx = ПL. Отсюда с учетом выражения (10.31) получаем

р_тр = 3μ  L /l².

(10.34)

Покажем, что смысл выражения (10.34) заключается фактически в том, что p_тр представляет собой работу силы трения между стенками канала и потоком, отнесенную к единице объема. Для этого оценим указанную величину, а затем сравним полученный результат с выражением (10.34).

Итак, найдем отношение работы силы трения A_тр на длине канала L к объему жидкости в канале при этой же длине:

где F_тр^w – сила трения на боковой поверхности канала S_бок=4(B+l)L, или S_бок = 4BL, поскольку l << B. При этом F_тр^w = τ_w•4BL, где τ_w – касательное напряжение трения на стенке, τ_w = μ(дu/дy)_{у = ± l} , или τ_w ~ μ /l, где – средняя по сечению скорость. Подставляя эти результаты в последнее выражение и учитывая, что V = 4BlL, получим

.

Таким образом, выражение (10.34) фактически означает, что потеря давления на трение действительно представляет собой работу силы трения, отнесенную к единице объема.

В соответствии с формулой для потерь давления на трение (10.2)

Приравнивая правые части последнего выражения и формулы (10.34), получаем λ = 6d_гμ/ l², или, учитывая, что d_г = = 4 (2B•2l )/2(2B + 2l ) и, что В >> l, т. е. d_г = 4l, или l = d_г /4, находим

λ = 96/Re.

(10.35)

где Re = d_г/ν,

Таким образом, точное решение уравнений Навье–Стокса действительно дает для гидравлического коэффициента трения формулу λ = с/Re.

Л.15.

Аналогичным образом решается задача для течения Пуазейля в трубе круглого сечения. Отличие заключается лишь в том, что иначе выглядит оператор Лапласа от скорости u, записанный в цилиндрических координатах:

где r и φ – радиальная и угловая координаты соответственно. При этом первое и последнее слагаемые равны нулю, так как течение установившееся и осесимметричное.

Таким образом, уравнение Навье–Стокса сводится в рассматриваемом случае к следующему:

что после простых преобразований дает

.

Поскольку левая часть этого уравнения зависит только от r, а правая только от x, следовательно, обе они постоянны, и вместо последнего уравнения получаем два:

Первое из этих уравнений – фактически уже решение (с точностью до константы) для распределения давления по длине трубы, а из второго найдем радиальное распределение скорости путем решения этого уравнения при очевидных граничных условиях:(du/dr)_r = 0 = 0; u(r₀) = 0.

Итак, после первого интегрирования уравнения

получаем

,

где константу интегрирования С₁ определим из граничного условия на оси трубы: С₁ = 0. После сокращения на r получаем уравнение

,

интегрирование которого дает

.

Константу интегрирования С₂ найдем из граничного условия на стенке трубы (условие прилипания): С₂ = Пr₀²/4μ.

Таким образом, для круглой трубы, как и для плоского канала, поперечное распределение скорости имеет вид квадратичной параболы:

или

(10.36)

Из этого решения легко находим, что скорость на оси трубы выражается как

(10.37)

т.е. решение (10.36) можно записать в виде

Разделив обе части на u_m и обозначив безразмерный радиус r/r₀ = η, получим безразмерную форму решения (10.36)

(10.38)

что совпадает с безразмерной формой решения для плоского канала (10.30,а).

Как в предыдущем случае, задача решена с точностью до константы П, для определения которой должен быть задан расход жидкости в трубе или, что равнозначно, средняя по сечению скорость.

Расход для круглой трубы выражается следующим образом:

откуда

или, приводя интеграл к безразмерному виду,

Подставляя вместо u/u_m выражение (10.38), получим

или, используя (10.37),

(10.39)

Формула (10.39) представляет собой как раз искомую связь между константой П и расходом, однако в ней удобнее использовать не расход, а среднюю по сечению скорость, которую получим, разделив расход на площадь сечения πr₀²:

.

(10.40)

Сопоставляя выражение (10.40) с формулой (10.37) для осевой (максимальной) скорости, заметим, что в случае круглой трубы осевая скорость вдвое превышает среднюю u_m = 2 . Поэтому, если для получения безразмерной скорости использовать , т. е. ввести U = u/ , то вместо (10.38), получим равенство

U = 2 (1 – η²),

(10.41)

которое будет использовано ниже в разделе IV.

Из выражения (10.40) находим, наконец, константу П

что позволяет определить потери на трение, поскольку, как и для плоского канала, p_тр = ПL:

(10.42)

или, учитывая, что r₀ = d/2,

(10.43)

Нетрудно, как и в предыдущем случае, выяснить смысл этих результатов: потеря давления на трение есть работа силы трения, отнесенная к единице объема.

Приравняв правые части выражения (10.43) и гидравлической формулы для потери давления на трение

найдем гидравлический коэффициент трения

который, как и для плоского канала, обратно пропорционален числу Рейнольдса; различие – лишь в величине численного множителя.

Л. 16.