8. Уравнения движения реальной жидкости (уравнения Навье–Стокса)

Так как движение реальной жидкости отличается от движения идеальной лишь наличием силы внутреннего трения, то уравнение в векторной форме, описывающее движение реальной жидкости, должно отличаться от уравнения Эйлера (8.7) лишь тем, что в его правой части, помимо векторов массовой плотности внешней массовой силы и силы давления, должен фигурировать вектор массовой плотности силы внутреннего трения. Найдем выражение для последней величины в случае движения несжимаемой реальной жидкости.

Рассмотрим вначале простейший случай, для которого справедлива формула Ньютона (10.21), т. е. случай, когда жидкость движется только в направлении оси х, а скорость ее движения изменяется только вдоль оси у. Выделим в таком потоке элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 10.8).

Касательное напряжение трения, действующее на нижнюю грань параллелепипеда со стороны нижележащих «медленных» слоев жидкости, направлено против движения и равно τ. В верхней грани, находящейся на расстоянии dy от нижней, касательное напряжение будет, очевидно, равно τ + dyдτ/ду, а направление его будет совпадать с направлением движения жидкости, поскольку оно возникает под воздействием расположенных выше этой плоскости «быстрых» слоев жидкости. Понятно, что сила трения равна произведению касательного напряжения трения на соответствующую площадь, которая в рассматриваемом случае имеет величину dx dz. Таким образом, результирующая величина силы внутреннего трения, приложенная к выделенному элементарному объему с учетом направления сил, действующих на нижнюю и верхнюю грани параллелепипеда, выразится в виде

dF_тр х = (τ + dyдτ/дy) dx dz – τdx dz, или dF_тр х = (дτ/дy) dV,

где индекс х означает направление действия силы.

Напомним, что необходимо прибавить к правой части уравнения (8.7) массовую плотность силы внутреннего трения. В рассматриваемом простейшем случае эта величина будет равна f_тр х ≡ dF_тр х /dM = dF_тр х /ρdV, или с учетом предыдущего равенства f_тр х = (1/ρ) дτ/дy. Подставляя в последнее выражение формулу Ньютона (10.21), вынося постоянную величину μ за знак производной и учитывая, что μ/ρ = ν, получим f_тр х = νд²и/ду².

В общем случае, т. е. когда вектор скорости имеет все три компоненты u, v и w, неравные нулю, и когда каждая из них зависит от всех трех координат, проекция вектора массовой плотности силы внутреннего трения на ось х запишется в виде

df_тр х = ν (д²u/дх² + д²и/ду² + д²u/дz²) = ν ²u.

(10.23)

Выражения для проекций этого вектора на оси у и z соответственно, будут иметь следующий вид:

df_тр y = ν (д²v/дх² + д²v/ду² + д²v/дz²) = ²v;

(10.24)

df_тр z = ν (д²w/дх² + д²w/ду² + д²w/дz²) = ²w.

(10.25)

У множив каждую из этих проекций на соответствующий орт и сложив, получим вектор массовой плотности силы внутреннего трения

f_тр  = ν ( ²u + ²v + ²w ) = ²

(10.26)

Добавив эту величину в правую часть уравнения Эйлера (8.7), получим уравнение движения реальной несжимаемой жидкости в векторной форме

(10.27)

называемое уравнением Навье–Стокса.

Это уравнение, понятно, может быть записано в проекциях на оси координат, т. е. в виде трех уравнений, в которых фигурируют проекции соответствующих векторов на оси х, у и z:

(10.28)

Полученные уравнения Навье–Стокса (10.27) или (10.28) справедливы лишь для несжимаемой реальной жидкости, поскольку в них учтена только та составляющая силы внутреннего трения, которая обусловлена неоднородным распределением скорости в потоке.

В случае движения сжимаемой жидкости, как уже было указано выше, помимо этой величины, в уравнении движения должна фигурировать также сила внутреннего трения, обусловленная сдвигом слоев вследствие объемной деформации (сжатия или расширения) жидкости. При этом уравнение Навье–Стокса в векторной форме будет иметь вид

(10.29)

Последнее слагаемое в правой части этого уравнения как раз и представляет собой массовую плотность указанной силы, поскольку дивергенция вектора скорости характеризует степень объемной деформации (для несжимаемой жидкости div = 0), а градиент от этой величины характеризует степень неоднородности деформации.