7. Внутреннее трение в ламинарном потоке реальной жидкости

При движении реальной жидкости, помимо тех сил, которые действуют в идеальной жидкости, т. е. внешних массовых сил, сил давления и инерции, действуют также и силы внутреннего трения.

Сила внутреннего трения возникает тогда, когда имеет место относительное смещение (сдвиг) соседних слоев жидкости. В случае движения несжимаемой жидкости этот сдвиг обусловлен тем, что соседние слои движутся с различными скоростями, т. е. тем, что имеется неоднородное распределение скорости в потоке. При движении сжимаемой жидкости этот сдвиг может быть помимо этого связан с объемной деформацией, т. е. сжатием или расширением жидкости в результате изменения давления или температуры, либо одновременно обоих этих параметров состояния. В дальнейшем, когда это не оговаривается особо, будем рассматривать лишь первый случай, т. е. силу трения, обусловленную неоднородным распределением скорости в потоке несжимаемой жидкости.

Величину силы внутреннего трения, возникающей в потоке жидкости, удобно характеризовать напряжением этой силы, т. е. ее величиной, отнесенной к единице поверхности. Эта величина называется касательным напряжением трения, обозначается  и измеряется в паскалях.

Возникновение силы внутреннего трения в движущейся жидкости или газе обусловлено переносом количества движения (импульса) в поперечном направлении, т. е. в направлении, нормальном по отношению к направлению движения жидкости. При ламинарном режиме движения этот перенос осуществляется в результате теплового движения молекул, которые перемещаются между различными слоями жидкости, имеющими разные скорости и переносят импульс из слоя в слой.

Покажем, что это действительно так, т. е. что сила трения возникает вследствие поперечного, обусловленного тепловым движением молекул, переноса продольного, соответствующего скорости направленного движения жидкости, импульса. Боле того, покажем, что сила трения представляет собой результирующий поток продольного импульса в поперечном направлении, а касательное напряжение трения – плотность этого потока.

Пусть рассматриваемая жидкость представляет собой газ, подчиняющийся элементарной молекулярно-кинетической теории (термодинамически идеальный газ), движущийся в таких условиях, когда плотность постоянна, постоянным является и давление, так что сила давления отсутствует. При этом движение происходит только в направлении оси x, а скорость u изменяется только в направлении оси y (рис. 10.7). Выделим контрольный объем в виде прямоугольного параллелепипеда, площадь основания которого равна dS, а высота Λ представляет собой среднюю длину свободного пробега молекул. Обозначим среднюю скорость теплового движения молекул , м/с; число молекул в единице объема n, 1/м³, и массу одной молекулы m, кг. Очевидно, что плотность потока массы газа, переносимой в направлении y за счет теплового движения молекул, равна in m, кг/(м²•с), где i – безразмерная величина, меньшая единицы, показывающая, какая доля всех молекул имеет составляющую скорости теплового движения, направленную вдоль оси у. Понятно, что поток массы газа в направлении у через площадь dS составит in mdS, или, учитывая, что n•m = ρ, iρ dS, кг/с. Поскольку самопроизвольного накопления газа в рассматриваемом контрольном объеме происходить не может, одно и то же количество газа входит в параллелепипед (см. рис. 10.7) через его верхнее основание и выходит через нижнее. При этом поток импульса, вносимый в контрольный объем через его верхнее основание, где скорость газа равна и (у + Λ), выразится как dI₁ = iρ dSu (у + Λ), а выносимый через нижнее основание, где скорость равна и (у), составит dI₂ = iρ dSu (у). Таким образом, результирующий поток импульса будет равен dI₁ – dI₂ = iρ dS [и (у + Λ) – и (у)]. Тот факт, что результирующий поток импульса не равен нулю, означает, что на выделенный объем действует внешняя сила. В рассматриваемых условиях это может быть только сила трения, приложенная к этому объему со стороны окружающей жидкости. В соответствии с законом сохранения импульса сила трения как раз и будет равна результирующему потоку импульса:

dF_тр = dI₁ – dI₂,

или

dF_тр ≡ τdS = iρ dS [и (у + Λ) – и (у)].

Таким образом касательное напряжение трения действительно представляет собой плотность результирующего потока продольного импульса в поперечном направлении:

откуда получаем следующее выражение для τ:

τ = iρ  [и (у + Λ) – и (у)].

(10.19)

Если величину и (у + Λ) разложить в ряд Тейлора и вследствие малости Λ ограничиться первыми двумя членами разложения, получим и (у + Λ) = и (у) + Λди/ду. Подставляя этот результат в формулу (10.19), найдем

τ = iρ Λ ди/ду.

(10.20)

Таким образом, касательное напряжение трения будет тем больше, чем больше разность скоростей между соседними слоями жидкости, или, точнее, чем больше поперечный градиент скорости.

Выражение (10.20) можно записать в виде

τ = μ ди/ду.

(10.21)

Э то выражение называется формулой Ньютона и определяет касательное напряжение трения, возникающее в потоке жидкости, движущемся в направлении оси х при наличии изменения скорости в направлении оси у. Формулу Ньютона (10.19) используют также и для потоков, лишь приблизительно удовлетворяющих этим условиям, т. е. когда движение жидкости осуществляется преимущественно в направлении х, а скорость изменяется главным образом в направлении у. В общем случае, напряжение, возникающее в жидкости, представляет собой тензор, включающий как нормальные (давление), так и касательные компоненты.

Коэффициент пропорциональности μ в формуле (10.21) называется динамическим коэффициентом вязкости, измеряется в паскалях, умноженных на секунду, и представляет собой физический параметр жидкости. Для газов эта величина зависит от температуры и давления, а для капельных жидкостей – только от температуры.

Формуле Ньютона (10.21) можно придать и другой вид, имеющий важный физический смысл. Обозначим величину μ/ρ = ν, м²/c, и назовем ее кинематическим коэффициентом вязкости. Поскольку эта величина равна отношению двух физических параметров жидкости, она также представляет собой физический параметр. Умножим и разделим правую часть формулы Ньютона на плотность и, считая жидкость несжимаемой, внесем ее под знак производной. Тогда получим

τ = νд(ρи)/ду.

(10.22)

В этом выражении величину, стоящую под знаком производной, можно рассматривать как импульс, отнесенный к единице объема движущейся жидкости, т. е. объемную плотность импульса, поскольку она равна произведению массы единицы объема (плотности) на скорость.

Таким образом, формула Ньютона, записанная в виде (10.20), означает, что плотность потока импульса в направлении у (т. е. касательное напряжение трения τ) пропорциональна градиенту объемной плотности импульса. Ниже, в разделе IV будет показано, что такую форму имеет не только закон, описывающий молекулярный перенос импульса (10.20), но и другие законы переноса, например, законы молекулярного переноса теплоты (теплопроводности) и массы примеси (диффузии). Во всех этих законах, представляющих собой частные случаи общего закона переноса – принципа линейности Л. Онсагера, коэффициенты пропорциональности между плотностью потока соответствующей субстанции (импульса, тепла, массы примеси) и градиентом объемной плотности этой субстанции измеряются в одних и тех же единицах (м²/с) и имеют один и тот же физический смысл: они характеризуют интенсивность соответствующего процесса переноса и называются коэффициентами переноса.

Таким образом, кинематический коэффициент вязкости ν представляет собой коэффициент молекулярного переноса импульса и определяет интенсивность этого процесса. Действительно, как это видно из выражения (10.20), при одной и той же величине градиента объемной плотности импульса касательное напряжение трения (т. е. плотность потока импульса) будет тем больше, чем больше кинематический коэффициент вязкости. Эта величина также зависит от параметров состояния жидкости – от давления и температуры для газов только от температуры для капельных жидкостей.

Л.13.