Потери давления на местные сопротивления

Потери давления на местные сопротивления возникают, когда по пути движения жидкости изменяется размер или форма поперечного сечения трубы, когда имеет место изгиб трубы на некоторый угол, когда поперечное сечение трубы загромождено измерительными или регулирующими органами. Эти потери обусловлены двумя причинами: во-первых, они вызваны изменением величины и направления скорости, т. е. действием сил инерции; во-вторых, во всех случаях местных сопротивлений в потоке имеются зоны, в которых скорости малы, а давление возрастает в направлении движения, что приводит к изменению направления движения жидкости на обратное, т. е. к образованию зон вихревого движения жидкости, называемых зонами отрыва потока от стенки. В этих зонах энергия движущейся жидкости интенсивно рассеивается в тепло (рис. 10.4).

В еличина потери давления на местные сопротивления, так же как и потери на трение, определяется как доля динамического давления, т. е. по формуле, аналогичной выражению (10.2)

(10.8)

где – коэффициент местного сопротивления.

В подавляющем большинстве случаев коэффициент местного сопротивления находится экспериментально, и значения его для различных случаев приводятся в справочной литературе. Однако для одного из случаев местного сопротивления – внезапного расширения – потерю давления и коэффициент можно приближенно найти теоретически.

П усть в узком сечении трубы площадью S₁ средняя скорость равна u₁, а давление p₁. В широком сечении площадью S₂ средняя скорость и давление соответственно равны и₂ и р₂. Изменение давления между сечениями 1 – 1 и 2 – 2 (рис. 10.5) обусловлено двумя причинами. Во-первых, как и в идеальной жидкости, это изменение связано с изменением скорости, которая в сечении 2 – 2 меньше, чем в сечении 1 – 1, а потому меньше и кинетическая энергия, и, следовательно, давление в сечении 2 – 2, т. е. объемная плотность потенциальной энергии давления, должно быть больше. Во-вторых, это изменение обусловлено потерями энергии между сечениями 1 – 1 и 2 – 2.

Найдем вначале давление р₂, используя закон сохранения импульса. Как известно из механики твердого тела, этот закон формулируется следующим образом: изменение количества движения системы равно импульсу равнодействующей внешних сил, приложенных к этой системе, т. е. . Применительно к меха­нике сплошной среды последнее выражение удобнее записать в виде

,

(10.9)

а закон сохранения импульса формулировать следующим образом: результирующий поток импульса через некоторую замкнутую поверхность, выделенную в потоке жидкости, т. е. геометрическая сумма всех потоков импульса, проходящих через эту поверхность [левая часть уравнения (10.9)], равна равнодействующей внешних сил, приложенных к этой поверхности.

Выделим контрольную поверхность, как это показано штриховыми линиями на рис. 10.5, и применим к ней сформулированный закон сохранения импульса, который запишем в скалярной форме, поскольку будем рассматривать проекции векторов, фигурирующих в выражении (10.9), на ось х.

Плотность потока массы в левом сечении контрольного объема равна u₁. Умножив эту величину на и₁, получим плотность потока импульса в этом сечении , т. е. количество движения (импульс), проходящее через единицу площади сечения за единицу времени. Умножив эту величину на площадь S₁, найдем поток импульса в левом сечении , т. е. количество движения, поступающее в контрольный объем через его левое сечение за единицу времени.

Понятно, что поток импульса в правом сечении, т. е. количество движения, уходящее вместе с движущейся жидкостью из контрольного объема за единицу времени, будет равен .

Таким образом, результирующий поток импульса через поверх­ность контрольного объема равен . В соответствии с уравнением (10.9) эта величина должна быть равна равнодействующей внешних сил, приложенных к поверхности контрольного объема. Силой трения на стенке трубы пренебрегаем. Тогда единственной силой, которую следует учитывать, является сила давления. Эта сила, приложенная к правому сечению контрольного объема, равна произведению давления в этом сечении на его площадь p₂S₂. Считая, что на всей площади левого сечения давление постоянно, найдем силу давления, приложенную к левому сечению p₁S₂.

Приравнивая результирующий поток импульса к равнодействующей сил давления, получаем

.

В правой части полученного уравнения сила давления, действующая на правое сечение контрольного объема положительна, поскольку она направлена против движения и, следовательно, уменьшает поток импульса на выходе из контрольного объема, т. е. увеличивает разность, стоящую в левой части уравнения. Сила давления, действующая на левое сечение, направлена в сторону движения, а потому отрицательна, так как увеличивает поток импульса на выходе.

Из последнего равенства находим давление во втором сечении

p₂ = p₁ + ρu₂₁S₁ /S₂ – ρu₂₂,

или, учитывая, что u₁S₁/S₂ = и₂,

p₂ = p₁ + ρu₂ (u₁ – u₂).

Давление которое было бы в сечении 2 – 2 при отсутствии потерь, найдем, используя уравнение Бернулли для идеальной жидкости (8.8)

,

откуда

Таким образом, потери энергии (давления), обусловленные внезапным расширением, найдем, вычтя из величину р₂, т. е.

(10.10)

Выражение (10.10) составляет содержание так называемой теоремы Борда, в соответствии с которой потеря давления при внезапном расширении равна динамическому давлению потерянной скорости.

Полученный результат легко представить в стандартной форме (10.8), исключив из правой части одну из скоростей, т. е. подставив u₂ = u₁S₁/S₂, либо и₁ = u₂S₂/S₁. При этом получим р_м.с = = (1 – S₁/S₂)² ρ u²₁/2, либо р_м.с = (S₂/S₁ – 1)² ρ u²₂/2.

Таким образом, если потеря давления при внезапном расширении рассчитывается по динамическому давлению в узком сечении, то коэффициент местного сопротивления будет равен ξ_м.с = = (1 – S₁/S₂)², если же расчет ведется по динамическому давлению в широком сечении, то ξ_м.с = (S₂/S₁ – 1)².

Значения коэффициентов местных сопротивлений для других случаев определены экспериментально и приводятся в справочной литературе и в руководствах по расчетам. Некоторые из них помещены в приложении 1. При этом в случаях, когда изменяется сечение трубы, обязательно указывается к какому сечению (узкому или широкому) относится приводимая величина коэффициента сопротивления.

Л.11.