Экстремумы функций двух переменных.

Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M₀(x₀,y₀), если для любой точки M (x,y), находящейся в некоторой p-окрестности точки M₀(x₀,y₀), выполняется условие f(x₀,y₀)>f(x,y) (f(x₀,y₀)>f(x,y)); p-окрестность можно представить множеством точек M (x,y), координаты которые удовлетворяют условию √(x-x₀)²+(y-y₀)² < p, где p – положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а M₀(x₀,y₀) – экстремальной точкой.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если z=f(x,y) – дифференцируемая функция и достигает в точке M₀(x₀,y₀) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

∂z(M₀)/ ∂x=0 , ∂z(M₀)/ ∂y=0.

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть M₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M₀(x₀,y₀):

∂²z(M₀)/ ∂x²=A; ∂²z(M₀)/ ∂x∂y=B; ∂²z(M₀)/ ∂y²=C;

а затем дискриминант ∆=AC-B². Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M₀(x₀,y₀) запишутся в следующем виде:

1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M₀(x₀,y₀) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;

2) ∆<0 – экстремума нет;

3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.