Выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость). Точки перегиба. Асимптоты

График функции y=f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость вверх (вниз), если на этом интервале график расположен не выше (не ниже) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала.

Теорема (достаточное условие выпуклости вверх (вниз)). Если функция y=f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет f''(x)≤0 (f''(x)≥0), то график функции имеет на интервале (a, b) выпуклость вверх (вниз).

Если в точке M(x₀, f(x₀)) графика функции y=f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка M(x₀, f(x₀)) называется точкой перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке M(x₀, f(x₀)) график функции y=f(x) имеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогда f''(x) в точке x₀ обращается в 0, т.е. f’’(x₀)=0.

Точки графика функции, в которых вторая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками II рода.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x₀ и пусть в самой точке f''(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x₀, график функции имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)).

Прямая линия L называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки M(x,y), лежащей на кривой, до прямой L стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Если lim_xaf(x)=+∞ или lim_xaf(x)= - ∞, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Если lim_x+∞f(x)=b или lim_x-∞f(x)=b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если существуют одновременно пределы:

k=lim_x+∞f(x)/x, b=lim_x+∞(f(x)-kx)

или

k=lim_x-∞f(x)/x, b=lim_x-∞(f(x)-kx).

Схема исследования графиков функции y=f(x):

1. Определить область существования функции;

2. Исследовать функцию на четность и нечетность;

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой;

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;

6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить точки перегиба;

7. Построить график функции.

Область определения, способы задания, линии и поверхности уровня

Если в любой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторого числового множества D={(x, y)} поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x, y). При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – зависимой переменной или функцией двух переменных. Множество D={(x, y)} называется областью определения функции, а множество Z={f(x, y)} – множеством значений функции.

Каждой упорядоченной паре чисел (x, y) при фиксированной прямоугольной системе координат соответствует единственная точка M плоскости xOy и, наоборот, каждой точке M соответствует единственная упорядоченная система чисел (x, y), поэтому функцию двух переменных иногда удобно рассматривать как функцию точки M и записывать в виде z=f(M). Область определения в этом случае рассматривается как некоторое множество точек плоскости.

Аналогично можно определить функцию любого конечного числа независимых переменных z=f(x₁, x₂, …, x_n), или z=f(M), где M – точка в пространстве n измерений M ∈D={( x₁, x₂, …, x_n)} ⊂Rⁿ.

Геометрическим изображением функции z=f(x, y) в прямоугольной системе координат Oxyz (графическое задание функции) является некоторая поверхность. Графически задать функцию трех переменных u=f(x,y,z) уже не представляется возможным.

Линией уровня z=c функции z=f(x, y) называется линия на плоскости f(x, y)=c. В каждой точке, лежащей на этой линии, функция z=f(x, y) принимает значение, равное с. Поверхностью уровня u=c функции u=f(x,y,z) сохраняет значение, равное с.

Функция двух переменных z=f(x, y) может быть задана таблично.