Числовые последовательности и пределы

Функция натурального аргумента n, заданная на множестве N, называется числовой последовательностью x_n=f(n) и обозначается {x_n}.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если ∀Ɛ>0 ∃N₁, такое, что при n>N₁⇒|xn-a| < Ɛ. Это обозначается след. образом: lim_n→∞ x_n=a или x_n →a при n →∞.

Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если ее предел равен 0. Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху (снизу), если ∃K∈R(∃K₁∈R), такое, что ∀n:x_n≤K(x_n≥K₁).

Если последовательность ограничена сверху и снизу, она называется ограниченной: {x_n}⊂[K₁, K].

Свойства бесконечно малых:

1. Сумма бесконечно малых является бесконечно малой.

2. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную является бесконечно малой.

Величина, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой, т.е. x_n=1/ α_n – бесконечно большая величина.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

Алгебраическими композициями последовательностей {x_n}, {y_n} называются последовательности {z_n} вида x_n+y_n, x_n-y_n, x_n*y_n, x_n/y_n, n=1, 2, … Если последовательности {x_n} и {y_n} имеют конечные пределы a и b, то последовательность {z_n} имеет пределы a+b, a-b, a*b, a/b (b≠0) соответственно.

Первый и второй замечательные пределы

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом. Этот предел равен единице: lim_{αn→0, n→∞} sin α_n/ α_n=1.

Предел последовательности (1+1/n)ⁿпри n→∞ называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу е: lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ=e=2,7182. Положив α_n=1/n, получим lim_αn→0 (1+ α_n)^{1/ αn}=e.

Предел функции

Предельной точной сгущения множества A называется точка x₀, если в любой окрестности этой точки найдутся такие множества, отличные от x₀.

Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x₀, если ∀Ɛ>0 ∃δ>0, такое, что ∀x∈(x₀-δ, x₀) ∪(x₀, x₀+δ) ⇒ f(x)∈(C- Ɛ, С+ Ɛ).

Существование предела записывают в виде lim_x→x0 f(x)=C или 0<|x-x₀|<δ⇒|f(x)-C|< Ɛ.

Определение пределе по Гейне. Если для различных последовательностей {x_n}, стремящихся к x₀, последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).

Переменная x может стремиться к x₀, оставаясь меньше x₀, что записывается в виде x→x₀-0, или оставаясь больше x₀, что записывается в виде x→x₀+0.

Предел lim_x→x0-0 f(x)=C’ называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x₀ слева, а предел lim _x→x0+0 =C’’ - пределом функции f(x) при x, стремящемся к x₀ справа.

При вычислении пределов функций, так же как и при вычислении пределов последовательностей, часто приходится рассматривать различного вида неопределенности.

Сравнение бесконечно малых функций

Функция α_n называется бесконечно малой функцией при x→x₀, если ее предел равен 0.

Если α(x) и β(x) – бесконечно малые функции и lim_x→x0 β(x)/α(x)=0, то функция β(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости относительно α(x), что записывается в виде β=o(α).

Если lim_x→x0 β(x)/α^k(x)=A (отличное от 0 конечное число), то β(x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α(x).

Если lim_x→x0 β(x)/α(x)=1, то β(x) и α(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: β(x)~α(x).

Непрерывность функций. Разрывные функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если эта функция определена в некоторой окрестности точки x₀ и существует предел lim_x→x0 f(x), равный f(x₀).

Если при каком-то значении x₀ не выполняются указанные условия, то точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна на этом промежутке.

Различают точки разрыва I и II рода. Точка x₀ называется точкой разрыва I рода, если для нее существуют конечный пределы f(x₀-0) = lim_x→x0-0 f(x) и f(x₀+0) = lim_x→x0+0 f(x) и они не равны между собой. Все остальные точки разрыва носят название точек разрыва II рода.

Если f(x₀-0)=f(x₀+0), то точка разрыва x₀ называется устранимой.

Если выполняется равенство f(x₀-0)=f(x₀), то говорят, что функция f(x) непрерывна слева в точке x₀. Аналогично, если f(x₀+0)=f(x₀), то функция непрерывна справа в точке x₀.

Правила дифференцирования. Вычисление производных

Производной функции y=f(x) в точке x₀ (обозначается y'(x₀) или f’(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:

y’(x₀)=lim_∆x-->0 f(x₀+∆x) – f(x₀)/ ∆x.

Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций.

1. (с)^’=0;

2. (uv)’=u’v+uv’;

3. (u/v)’=u’v-uv’/v²

4. (c/v)’= - cv’/v²;

5. (sinx)’=cosx;

6. (tgx)’=sec²x;

7. (u+v-w)’=u’+v’-w’;

8. (cu)’=cu’;

9. (u/c)’=u’/c;

10. (xⁿ)’=nx^n-1;

11. (cosx)’= - sinx;

12. (ctgx)’= - cosec²x.

Производная сложной функции.

Если y=f(u), где u= (x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

1. (uⁿ)’=nu^n-1*u’;

2. (sinu)’=cosu*u’;

3. (cosu)’= - sinu*u’;

4. (tgu)’=sec²u*u’;

5. (ctgu)’= - cosec²u*u’.

Производные показательных и логарифмических функций.

1. (a^u)’=a^ulna*u’;

2. (e^u)’=e^uu’;

3. (a^x)’=a^xlna;

4. (e^x)’=e^x;

5. (logu)’=u’/u*loge;

6. (lnu)’=u’/u;

7. (logx)’=1/x*loge;

8. (lnx)’=1/x.

Производные обратных тригонометрических функций.

1. (arcsinu)’=u’/ √1-u²;

2. (arccosu)’= - u’/ √1-u²;

3. (arctgu)’= u’/1+u²;

4. (arcctgu)’=u/1+u²;

5. (arcsinx)’=1/ √1-x²;

6. (arccosx)’= - 1/ √1-x²;

7. (arctgx)’= 1/1+x²;

8. (arcctgx)’=1/1+x².

Производные высших порядков.

Производной второго порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.

lim_∆x0 f’(x+∆x)-f’(x)/ ∆x=f”(x).

Дифференциалы первого и высшего порядков и их применение.

Если функция y=f(x) имеет конечную производную f’(x) в точке x, то полное приращение функции ∆y можно записать в виде

∆y=f(x+∆x) – f(x)=f’(x) ∆x +α(∆x) ∆x,

α(∆x)-бесконечно малая функция при ∆x0 т.е. lim_∆x0 α(∆x)=0.

Главная, линейная относительно ∆x, часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначает dy. Следовательно, по определению dy=f'(x) ∆x. Если f(x)=x, то dx= ∆x, поэтому дифференциал обычно записывают в виде: dy=f'(x)dx.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Если из уравнения φ(x,y)=0 выразить явно переменную y как функцию аргумента x затруднительно, тогда говорят о неявно заданной функции y от аргумента x. Например: yx+log₂(x²+y²) – sin(xy)=0. В дальнейшем неявно заданные функции будем считать дифференцируемыми. Продифференцировав по x обе части уравнения φ(x,y)=0, получим уравнение содержащее y’. Из этого уравнения находим y', которую и называют производной неявной функции при всех значениях x и y, при которых она определена и существует.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x₀∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x₀)=0.

Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Теорема Коши. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).