18)Дробный факторный эксперимент
Основная задача ДФЭ – снижение числа экспериментов, только недостатком является то, что не все коэффициенты модели могут быть найдены независимо один от другого.
Водится понятие реплики – полный план эксперимента.
Число экспериментов рассчитывается как: N=2n-p. p – реплика.
Последовательность действий:
1) Строится ПФЭ для числа переменных, соответствующих числу экспериментов.
Для формирования дополнительных столбиков вводятся генерирующие соотношения, которые представляют собой эффекты взаимодействия возможно более высокого порядка, которые на практике как правило отсутствуют.
X4=X1X2X3; X5=X1X3
Перед реализацией экспериментов по плану надо провести анализ разрешающей способности плана, т.е. найти взаимосвязь искомых коэффициентов. Для этого вводится понятие определяющего контраста ОК и обобщающего определяющего контраста ООК, если нужно.
ОК получается из генерирующего соотношения путём умножения правой части на переменную, стоящую в левой. ООК объединяет полученные равенства.
1= X1X2X3X4; 1= X1X3X5
X1X3X5= X1X2X3X4
На основании ООК записывается система взаимосвязи коэффициентов:
X1=X3X5= X2X3X4
b1=b1+b35+b234
Получим b3:
X3=X1X5= X1X2X4
b3=b3+b15+b124
Получим b5:
X5=X1X3= X1X2X3X4X5
b5=b5+b13+b12345
Вывод: в зависимости от структуры плана оказываются взаимосвязанными разные коэффициенты. Если взяли бы для X5 другое генерирующее соотношение, то получили бы другую систему оценок, т.е. выбором генерирующего соотношения можно связать между собой желаемые переменные. Т.е. можно связать важную переменную с той, о которой заранее известно что она не оказывает существенного влияния.
Предварительные исследования объекта, которые желательно проводить перед применением ДФЭ должны определить те эффекты, которые несущественны в данной модели или в данном процессе, тогда можно получить модель с коэффициентами которые нас интересуют. Если хотят получить только линейную модель то дробность реплики может быть достаточно высокой и можно не проводить оценку взаимосвязи коэффициентов.
Дробность реплики и регулирующее соотношение следует выбирать так, чтобы получить интересующие нас коэффициенты.
19)Планирование второго порядка. Ортогональное композиционное планирование.
С помощью ПФЭ и ДФЭ нельзя построить полную квадратичную модель, т.к. через 2 точки провести кривую нельзя. Кривую второго порядка можно провести через 2 точки, поэтому для построения полных квадратичных моделей нужно использовать трехуровневые полные факторные эксперименты.
Число экспериментов: N=3n.
Чаще всего применяют композиционные планы, которые позволяют достроить ПФЭ или ДФЭ так, чтобы можно было получить квадратичную модель. Обычно это пятиуровневые планы, среди которых наибольшее распространение получили:
*ортогональные центральные композиционные планы ОЦКП
*Рототабельные центральные композиционные планы.
При применении ПФЭ или ДФЭ мы получаем модель вида: y=b0+b1x1+b2x2+…
В неё Х подставляют в нормированном виде. При необходимости можно вернуться обратно в реальные переменные, используя формулу нормирования.
ЦОКП
Строится на базе ПФЭ или ДФЭ путем добавления центральной и звёздных точек.
Общее число элементов: N=2n-p+2n+1
N X1 X2 X3
1 +1 +1 +1
.. .. .. ...
8 -1 -1 -1
9 0 0 0
10 +α 0 0
11 -α 0 0
12 0 + α 0
13 0 - α 0
14 0 0 + α
15 0 0 - α
9 точка центральная. Величина звездной точки зависит от размерности (числа переменных):
n α
2 1
3 1.215
4 1.414
План 5 уровневый, сохраняет ортогональность во всех точках кроме b0.
Порядок расчета совпадает с предыдущими планами
- рандомизация
- анализ воспроизводимости
- расчет коэффициентов
- оценка доверительных интервалов
- оценка значимости
- проверка адекватности
Такой план реализуют в тех случаях, когда линейная и неполная квадратичная модели оказываются неадекватными, а изменять диапазон варьирования переменных нежелательно.