7)Построение экспериентальных математических моделей

Особенность – структура модели задаётся произвольно или с учётом каких-либо априорных сведений о сущности процесса.

В качестве формальных моделей применяют полиномиальные модели не очень высокой степени. Построение моделей статики и динамики различается. Модели, построенные на экспериментальных методах пригодны только для объекта исследования, т.к. во время эксперимента учитываются все особенности объекта, о которых не подозреваем.

8)Экспериментальные методы построения математических моделей. Особенности проведения эксперимента

Y=f(x,a) a- параметр объекта.

В природе нет детерминированных моделей, т.е. принимаем допущение что случайные составляющие малы и не оказывают влияния на процесс исследования.

Особенности проведения эксперимента:

1) Устраняем по мере возможности изменение входных величин, к-е не участвуют в построении модели, но могут повлиять на результат эксперимента.

2) Постоянный контроль за такими возмущениями

3) Дожидаемся установившегося режима

4) Класс точности приборов должен удовлетворять требованиям модели и реальным условиям

5) Диапазон варьирования переменных соответствует реальному диапазону изменения.

Техника проведения экспериментов различается, когда х – скаляр или вектор.

После получения экспериментальных данных для одномерных объектов по их характеру подбирается структура модели, т.е. построение модели сводится к нахождению параметров выбранной структуре

При построении моделей применяются методы наименьших квадратов, метод Брандона.

10)Метод наименьших квадратов

Этот метод аппроксимации применяется для определения коэффициентов модели, исходя из обеспечения минимума квадратичной меры близости. Возможно повышение точности в каких-либо точках, т.е. используются весовые множители.

Встречаются задачи:

*: обеспечение наилучшей возможной близости расчётных эксперим данных для модели заданной структуры

*: подбор структуры модели

Часто структуру модели из графических эксперим данных не определить, поэтому ограничиваются полиномом 2-3 степени, т.е. модель можно записать так:

Эксперимент проводится при варьировании всех переменных, т.к. возможно влияние одних переменных на другие. Только при варьировании не удаётся выявить взаимодействие переменных, к-е в модели выражаются в виде произведения.

Для функции метод наименьших квадратов примет вид:

11)Метод брандона

Метод базируется на представлении модели в виде произведения функций от одной переменной:

y=f(x₁)f(x₂)…

Построение модели реализуется путем последовательности этапов:

1) Полагаем что у зависит от 1 переменной y=f(x) проводим эксперимент и по характеру зависимости подбираем структуру аппроксимирующей функции и определяем её коэффициенты. Изменяем во время эксперимента все переменные. Необходимо проводить несколько экспериментов для получения среднего у!!!

Если после определения коэффициентов нас всё устраивает, то модель готова! ;)

Находим отношение и смотрим близость к 1. Если не устраивает, тогда экспериментальные данные аппроксимируем зависимостью y=f₂(x₂).

2) Для соотношения подбираем функцию х₂ , т.е.е аппроксимируем это соотношение. Находим параметр , т.е рассчитываем значения z₂. Затем находи отношение и тоже проверяем его на приближенность к 1. Если довольны, то заканчиваем и получаем искомый полином, иначе продолжаем для нахождения других функций.

Если учли все возможные переменные, но так и не добились приемлемого результата, то возвращаемся на один из предыдущих этапов и выбираем другую аппроксимирующую функцию.

+: Построение сводится к последовательному получению одномерных моделей и структура их обосновывается визуально. Построить несколько одномерных моделей проще, чем одну многомерную.

-: построение модели субъективно.