2)Основные этапы математического моделирования. Их содержание.

Такие модели получили распространение из-за: матемизации различных областей знания, развития вычислительной техники.

Иногда под моделью понимается программа, описывающая исследуемый объект. В таком случае формальную запись объекта с помощью математических символов называют математическим описанием.

Моделирование – циклический процесс, который не заканчивается 3 стадиями получения, исследования и применения модели. За этим циклом идее следующий. При этом данные об исследуемом объекте постепенно совершенствуются.

Этапы моделирования:

1) Постановка проблемы и её качественный анализ

Выясняем что хотим от модели и производим абстрагирование. Принимаем необходимые допущения. Главное – четко сформулировать сущность проблемы. Также формируем гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2) Построение математической модели

Формализуем модель, т.е. записываем всё математическими формулами. Вначале определяем структуру модели (произвольно или на основании фундамент законов) Затем уточняем детали модели (конкретно какие переменные, параметры, формы связи).

А) структурный синтез – формальная запись всех явлений и процессов, выделяемых в объекте

Б) идентификация – определение параметров модели

3) Математический анализ модели

Выявляем общие свойства модели. Применяем чисто математические приёмы исследования. Самое важное - доказать что решение существует. Если докажем что решения не существует, то не исследуем дальше модель, т.е. либо корректируем её либо меняем способ формализации.

При аналитическом методе исследуем устойчивость модели, переменные входящие в решение, соотношения между переменными.

Решение устойчивое если малому изменению параметров модели соответствует малое изменение решения. Модели сложных объектов проще решать численными методами.

4) Подготовка исходной информации

Необходимо отфильтровать данные от случайных помех. На данном этапе широко используются методы теории информации, теории вероятности и проч

5) Численное решение

Этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, реализацию алгоритмов в виде программ и проведение расчётов. Для решения задачи важное значение имеет метод оптимизации.

Существуют программы для решения различных моделей, автоматизирующих расчёт, однако они не позволяют получить приемлемое решение в силу специфики конкретной модели. На которую не ориентированы общие алгоритмы.

3)Этапы построения математической модели. Структурный синтез, идентификация.

Формализуем модель, т.е. записываем всё математическими формулами. Вначале определяем структуру модели (произвольно или на основании фундамент законов) Затем уточняем детали модели (конкретно какие переменные, параметры, формы связи).

А) структурный синтез – формальная запись всех явлений и процессов, выделяемых в объекте

Для этого весь объект разбивают на маленькие элементарные участки. Для каждого участка принимаем допущения: учет /неучет каких-либо явлений в линейном или нелинейном виде, учет распределения параметров по объёму.

Система допущений оказывает влияние на адекватность модели. При учёте явлений часто опираются на фундаментальные законы и вариационные принципы(из всех возможных поведений объекта выбираем те, которые удовлетворяют определенным условиям).

Далее описываем функциональные связи между различными переменными и получаем систему уравнений, связывающие входные и выходные параметры объекта.

f(x,y,a); f(x,y,a,y’,x’,t) – все параметры векторы.

Если при выводе модели принимаются во внимание только объективные физические законы, т.е. не используются формальные структуры, то а имеет определенный физический смысл. Такие модели - аналитические.

+: пригодны для широкого класса объектов и для различных областей применения одного и того же объекта, обладают высокой информативностью

-: Требуется много времени для построения модели и высокой квалификации, часто не учитывается конкретная специфика объекта.

В экспериментальных моделях структура модели задаётся произвольно (например в виде полиномов и др функций). В этом случае параметры модели, т.е. вектор а не имеют физического смысла и их определяют из эксперимента .при этом они выбираются таким образом, чтобы структура модели наиболее точно соответствовала результатам эксперимента.

+: Отлично подходят для объекта, на котором проводились исследования. Легко получить модель, наличие формальных методов построения

-: невозможно применить для других объектов, отсутствует учет причинно-следственных связей, т.е. объект представляется как черный ящик.

Комбинируя аналитический и экспериментальный получаем экспериментально-аналитический метод: модель синтезируется аналитически с учетом причинно-следственных связей, затем часть параметров модели определяется по итогам экспериментов на реальном оборудовании, т.е. параметры подбираются для обеспечения максимальной точности модели в конкретных условиях Из-за подгонки модели теряют содержательны смысл.

Б) идентификация – определение параметров модели

При построении аналитических моделей этапа идентификации нету. Параметры в таких моделях имеют ясный содержательный смысл и они берутся из таблиц и других источников. Когда не удается параметр , то его определяют экспериментально путем точных экспериментов на оборудовании, к-е не является объектом моделирования.

В экспериментальных и экспериментально-аналитических моделях этот этап очень важен.