5,6. Рівняння поперечних коливань струни.

Струна –це пружна нитка, котру можна згинати, але її не можна розтягувати.

Нехай маємо струну довжина якої . Спрямуємо вісь ОХ вздовж струни, що знаходиться в положенні рівноваги. Нехай =0 –лівий кінець струни, –правий кінець струни. І будемо розглядати лише поперечні коливання струни, т.т. рух точок буде проходити перпендикулярно до вісі ОХ

в площині , котра буде описувати зміщення точок струни від положення рівноваги в момент часу .

Будемо припускати, що є , а відхилення точок струни від положення рівноваги досить малі порівняння з її довжиною.

Приріст функції має вигляд .

Довжина ділянки струни

Отже в такому разі . Із вище сказаного слідує, що точки струни коливаються перпендикулярно до вісі ОХ, але при цьому відстані між ними не змінюються.

Закон Гука: була довжина L, застосували силу T, довжина стала L'

T=T(L')

Закон Гука має вигляд T=ES

S –поперечний переріз площини

E –модуль Юнга.

Так як за припущенням до до струни відстань між точками не змінюється, то натяг струни не буде залежати від часу T=T(х).

Натягом називається сила, з якою правий кінець струни діє на лівий. Нехай лінійна густина струни. Маса кусочка струни між точками визначається .

–рівняння коливання струни.

Якщо струна однорідна то

2.Класифікація і зведен до кан вигляду рівн з похід.: рівняння еліптичного типу

Диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних має вигляд:

A,B,C,D,F – певні функції, які залежать від . Якщо A,B,C,D,F – сталі, то рівняння назив. лінійним рівнянням за сталими коефіцієнтами.

Якщо то рівняння є однорідним, в іншому випадку неоднорідним. Щоб звести дане рівняння до канонічної форми застосовують заміну незалежних змінних

Рівнянь з частинними похідними класифікуються відносно значення виразу

Якщо - то рівняння гіперболічного типу. рівняння параболічного типу. рівняння еліптичного типу.

Розглянемо зведення до канонічного рівняння диф. рівняння еліптичного типу.

Складаємо рівняння характеристик:

Для того щоб існували обернені перетворення необхідно і достатньо, щоб якобіан .

відповідно до замін, рівняння матиме вигляд

Шукаємо похідні з новими замінами:

Якщо підставити знайдені похідні у початкове рівняння та звести подібні, то рівняння матиме вигляд:

Для еліптичного виду рівняння канонічний вигляд такий:

17. Єдиність розв'язку краєвої задачі для рівняння коливання струни

Нехай функції і в рівнянні коливання струни:

Тоді не може існувати двох розв’язків, що задовольняють рівняння коливання струни.

Розглянемо першу задачу коливання струни.Доводити будемо методом від супротивного. Нехай в деякій області існує два розв’язки: .

Для функції

1. ;

2. ;

Виконуючи віднімання першого рівняння від другого, отримаємо:

.

Аналогічно віднімаючи відповідні умови будемо мати:

Розв’язуючи отриману задачу, покажемо, що її розв’язком є тільки функція . Для доведення цього твердження розглядається одаткова функція , що представлена у вигляді інтегралу ,

Знайдемо похідну по від обох частин рівності:

Покажемо, що отриманий інтеграл рівний нулю. Для цього виконаємо елементарні перетворення:

1. Розкриємо дужки: . У рівнянні це означає, що

, . Отже . А , тоді, коли підінтегральна функція дорівнює нулю.

Так, як підінтегральна функція то ,

і .

22-23. Поняття про задачу Штурма-Ліувілля. Задача Штурма-Ліувілля.

Задача Штурма Ліувілля полягає у відшукуванні нетривіальних (тобто відмінних відтотожного нуля) розвязку на проміжку однорідного рівняння , що задовольняють однорідним граничним умовам:

і значень параметра , при яких такі розв’язки, що задовольняють вказаним граничним умовам, існують.

Оператор це лінійний диференціальний оператор другого порядку, що діє на функцію , виду

(оператор Штурма Ліувіля), аргумент.

Функції передбачаються неперервними на , крім того функції додатні на .

Шукані нетривіальні розв’язки називаються власними функціями цієї задачі, а значення , при яких такий розвязок існує, її власними значеннями (кожному власному значенню відповідає власнафункція).

Задача Штурма Ліувілля:

;

;

тривіальні розв’язки системи, то

Визначник головної матриці системи повинен дорівнювати 0, для того щоб знайти ще один розв’язок відмінний від тривіального.

1. 

2. 

.

Якщо

загальний розвязок

Використовуючи властивості лінійного оператора

розв’язок задачі Штурма Ліувілля

25. Інтегральна формула Пуассона.

Візьмемо розв'язок задачі Діріхле, отриманий методом відокремлення змінних,

(ми беремо випадок довільного радіуса круга) і підставимо в нього формули для обчислення коефіцієнтів і . Після ряду обрахунків з використанням алгебри, інтегрального числення й тригонометрії отримуємо

Останній вираз у правій частині називається інтегральною формулою Пуассона. Отже, ми отримали ще одну форму зображення розв'язку внутрішньої задачі Діріхле

(1)

Проаналізуємо розв'язок (1).

1. Можна вважати, що за формулою Пуассона (1) потенціал в точці є зваженим середнім граничного потенціала. Вагова функція називається ядром Пуассона і має вигляд

Ядро Пуассона = .

Це дозволяє нам дещо сказати про фізику системи, а саме: потенціал в точці є зваженим середнім потенціалів сусідніх точок. Ядро Пуассона показує лише, який внесок кожної точки в загальний потенціал.

Розв'язок  зважена сума граничних потенціалів;  квадрат цієї довжини є знаменником ядра Пуассона.

Для граничних значень , близьких до , ядро Пуассона стає великим, оскільки знаменник ядра дорівнює квадрату відстані між точками і , а, отже, є малим. Завдяки цьому більший внесок в інтеграл дають значення , для яких близькі до . На жаль, коли точка як завгодно близько підходить до межі , то ядро Пуассона теж необмежено зростає. Тому числові значення розв'язку біля межі зручніше обчислювати за допомогою рядів.

2. Якщо обчислити потенціал в центрі круга за формулою Пуассона, то отримаємо

.

Іншими словами, потенціал в центрі круга дорівнює середньому значенню потенціала на полі.