8.6 Сложение колебаний
1. Сложение двух гармонических колебаний
одного направления и одинаковой частоты
Заданы уравнения двух гармонических колебаний:
(8.25)
Построим векторные диаграммы этих
колебаний. Так как вектора
и
вращаются с одинаковой угловой скоростью
,
то разность фаз колебаний остается
неизменной
.
Очевидно, что уравнение результирующего
колебания можно записать в виде:
. (8.26)
Причем, результирующее колебание будет также является гармоническим колебанием с частотой .
В уравнении (8.26) амплитуда начальная фаза результирующего колебания задается выражением
, (8.27)
начальная фаза результирующего колебания задается выражением
, (8.28)
где
и
− амплитуды складываемых колебаний;
и
− начальные фазы складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (8.27) в зависимости
от разности фаз
:
Если
,
причем
,
тогда
,
следовательно,
, т.е.
амплитуда результирующего колебания
равна сумме амплитуд складываемых
колебаний.Если
,
причем
,
тогда
,
следовательно,
, т.е.
амплитуда результирующего колебания
равна разности амплитуд складываемых
колебаний.В общем случае
.
2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Биения
Заданы уравнения двух гармонических
колебаний, для которых амплитуды
и частоты
и
:
(8.29)
При сложении колебаний (8.23) получим
.
Уравнение результирующих колебаний, которые не являются гармоническими и называются биениями:
, (8.30)
где
− частота биений;
− частота колебаний.
Результирующие колебания (8.30) можно
рассматривать как колебания с частотой
,
амплитуда которых изменяется по
периодическому закону
.
Частота изменения
в два раза больше
частоты изменения косинуса (так как
берется по модулю). Поэтому амплитуда
колебаний будет пульсировать с частотой
.
Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Амплитуда и период биений:
, (8.31)
. (8.32)
График биений
3. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
Пусть материальная точка одновременно
совершает колебания, как вдоль оси
,
так и вдоль оси
с одной и той же частотой
.
Определим вид траектории, по которой
движется материальная точка.
Уравнения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебания одинаковой частоты:
(8.33)
Выберем начальный момент времени
так, чтобы начальная фаза одного колебания
была равна нулю (например,
,
).
Тогда
тогда, исключив время , получим
,
,
,
. (8.34)
Уравнение траектории движения материальной
точки (8.34) представляет собой уравнение
эллипса, оси которого повернуты
относительно координатных осей
и
.
Ориентация эллипса и значения его
полуосей зависят от амплитуд
и
,
а так же разности фаз
складываемых колебаний.
Рассмотрим частные случаи:
а) если разность фаз колебаний
,
тогда
,
следовательно
Таким образом, уравнение траектории
− уравнение прямой. Результирующее
колебание является гармоническим
колебанием вдоль прямой
с частотой
и амплитудой
.
б) если разность фаз колебаний
,
тогда
,
следовательно
Таким образом, уравнение траектории
− уравнение прямой. Результирующее
колебание является гармоническим
колебанием вдоль прямой
с частотой
и амплитудой
.
в) если разность фаз колебаний
,
тогда
,
следовательно
Таким образом, уравнение траектории
− уравнение эллипса. Результирующее
колебание является гармоническим
колебанием вдоль прямой
с частотой
и амплитудой
.
в) если частоты отличаются на
,
тогда уравнения колебаний можно записать
в виде
можно рассматривать как медленно
изменяющуюся во времени разность фаз
по линейному закону. Материальная точка
в этом случае движется по медленно
меняющейся кривой, последовательно
принимающей формы, отвечающие всем
значениям разности фаз
от
до
.
г) если частоты колебаний не одинаковы
,
то траектория движения материальной
точки имеет сложный вид. Фигуры, которые
получаются в результате сложения таких
колебаний, называются фигурами Лиссажу,
их вид зависит от соотношений
и
.