8.2 Скорость , ускорение , энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.
а) Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:
, (8.3)
где
− максимальная скорость материальной
точки.
Колебания скорости
опережают смещение
по фазе на
(на
по времени).
б) Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
, (8.4)
где
− максимальное ускорение материальной
точки.
Колебания ускорения
происходят в противофазе со смещением
.
в) Возвращающая сила , действующая на материальную точку, совершающую гармонические колебания:
, (8.4)
где
− максимальное значение возвращающей
силы, действующей на материальную точку.
г) Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:
кинетическая энергия
, (8.5)
потенциальная энергия
, (8.6)
полная энергия гармонических колебаний
. (8.7)
.
Полная энергия гармонических колебаний
сохраняется
.
Амплитуда колебаний также сохраняется
,
т.е. колебания являются незатухающими.
В процессе колебаний происходит переход
из потенциальной энергии в кинетическую,
и наоборот.
8.3 Собственная частота, амплитуда и начальная фаза колебаний
а ) Циклическая частота
или собственная частота колебаний
связана с физическим состоянием системы
и зависит от параметров системы.
Рассмотрим в качестве примеров
колебательных систем математический,
физический и пружинный маятники.
Математический маятник −материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
Период и собственная циклическая частота колебаний математического маятника:
, 
, (8.8)
где
− длина нити маятника;
− ускорение свободного падения.
Физический маятник − тело, способное совершать свободные колебания относительно оси, проходящей выше центра масс.
Период и собственная циклическая частота колебаний физического маятника:
, 
, (8.9)
где
− момент инерции маятника относительно
оси, проходящей через точку подвеса;
− масса маятника;
− расстояние между точкой подвеса и
центром масс маятника;
− ускорение свободного падения.
Пружинный маятник − тело, подвешенное на невесомой пружине.
Период и собственная циклическая частота колебаний математического маятника:
,
, (8.10)
где
− масса маятника;
−коэффициент жесткости пружины.
б) Начальная фаза колебания
может быть определена из начальных
условий, т.е. через смещение
и начальную скорость
материальной точки в начальный момент
времени
:
(8.11)
Тогда 
.
Начальная фаза колебания 
. (8.12)
в) Амплитуда колебаний , определяется также начальными условиями (8.11):
Амплитуда колебаний 
. (8.13)
Таким образом амплитуда и начальная
фаза колебаний определяется физическими
параметрами системы
и начальными условиями (
и
).
8.4 Графическое представление гармонических колебаний
Рассмотрим графический способ представления гармонического колебания
. (8.14)
В
ыберем
координатную ось
.
Из начала координат (точки
)
проведем вектор
,
длина которого равна амплитуде
рассматриваемого гармонического
колебания
,
а направление вектора
образует с осью
угол
,
равный начальной фазе колебаний. Тогда
проекция вектора
на координатную ось
в начальный момент времени
будет равна
,
т.е. представляет собой смещение системы
из положения равновесия в начальный
момент времени. Если заставить вектор
вращаться с постоянной угловой скоростью
(равной собственной частоте гармонических
колебаний) вокруг начала координат
,
то угол между направлениями вектора
и оси
будет изменяться с течением времени по
закону
.
В это случае проекция вектора
на координатную ось
в любой произвольный момент времени
будет равна
,
т.е. представляет собой смещение системы
из положения равновесия в момент времени
.