3.3 Множества

3.3.1 Множества и математика

Понятие “множество” в математике является одним из основополагающих и поэтому считается неопределяемым(т.е. для него нет общепринятого определения). Содержание, смысл этого понятия можно лишь объяснить с помощью примеров и описания его свойств.Понятие о множестве можно получить представив себе некую совокупность объектов произвольной природы: абстрактных(числа, слова) или реальных(студенты в аудитории, столы там же, зачетные книжки).      Однако не любая совокупность может считаться множеством, хотя любое множество является совокупностью. Объекты множестваобязательно должны отличаться друг от друга. В то же время в совокупности могут быть одинаковые объекты. Зачетки студентов группы 2-1 ФАУ - это множество. Столы, за которыми вы сидите, можно считать совокупностью, т.к. они практически одинаковы. Объекты множества принято называть элементами. Если некоторый объект Х является элементом множества М, то этот факт записывается Х∈ М.       В общем случае количество элементов может быть конечным или бесконечным(пример-множество натуральных чисел). Имеет место и пустое множество, т.е. множество, не содержащее элементов. Пример:если М-множество действительных корней уравненияX^P+1=0 , тоM=ø

3.3.1.1 Способы задания множеств

            1-ый способ. Проще всего задать множество посредством указания общего свойства его элементов. Формально это можно записать так М={X|P(X)}, т.е. множество М представляет собой множество всех Х, обладающих свойством Р(Х).

Примеры:

1.Запись A={X|X-натуральное число} означает бесконечное множество А всех натуральных чисел.

2.Запись B={X|(X-1)*(X-2N)} означает конечное множество B, содержащее корни уравнения (Х-1)*(Х-2)=0

3.Запись C={X|(X<1) и (X>2)|} означает пустое множество С, т.е. С=ø

Обращаю Ваше внимание на то, что Р(Х) представляет собой предмет, т.е. логическое выражение, которое может быть истинным или ложным в зависимости от конкретного значения элемента Х.

Элемент Х принадлежит множеству М только в том случае, если Р(Х) истинно.

2-ой способ. Универсальный способ задания множества состоит в обычном перечислении его элементов.

Пример: запись A={X_1,X₂,…,X_n} означает, что множество А состоит из элементов X_1,X₂,…,X_n.

Запись M={2,3,4,5} представляет собой множество экзаменационных оценок(в 5-ти бальной системе).

Порядок перечисления элементов множества не имеет значения, т.е. множество М можно записать и в виде M={5,4,3,2} и т.д.

Чтобы над множествами можно было бы выполнить те или иные операции, нужно предварительно определить способы их сравнения между собой:

1.Некоторые множества А и В могут совпадать(А=В) или не совпадать друг с другом(А≠В).

Множества считаются совпадающими, если любой элемент множества А принадлежит множеству В, и наоборот любой элемент множества В принадлежит множеству А.

2.Если любой элемент множества А принадлежит множеству В, то считается, что множество А является подмножеством(частью) множества В и записывают этот факт в виде А⊂В.

Примечание: Если множества А и В совпадают(А=В), то они являются подмножествами друг друга, т.е. А⊂В и В⊂А.

3.Если хотя бы один элемент множества А не принадлежит множеству В, то это записывается в виде А В; иначе говоря множество А не является подмножеством множества В.

4. Пустое множество является подмножеством любого множества М, т.е. Ø⊂М; а также любое множество М является подмножеством самого себя, т.е. М⊂М.

В ряде случаев возникает необходимость сравнивать между собой не только сами множества, но и элементы одного и того же множества. Для этого элементам данного множества с помощью отношения « < » принимают свойство так называемой линейной упорядоченности. Благодаря этому, из двух произвольных элементов множества один всегда «меньше» другого, то есть «предшествует» ему.