Распространение упругих деформаций в среде называется волной. Волна, в отличие от колебаний, характеризуется периодичностью не только во времени, но и в пространстве.

Волны называются продольными, если колебания (возмущения) в них совершаются в направлении распространения колебаний (вдоль направления распространения волны). Такие волны характерны для газов, но могут возникать и в более плотных средах, например, жидкостях, причем, чем выше плотность среды, тем больше скорость распространения колебаний в ней – больше скорость волны.

Волны называются поперечными, если колебания в них совершаются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такие волны наблюдаются в колеблющихся струнах музыкальных инструментов.

Если волновой процесс сопровождается переносом энергии, то волна называется бегущей, в противном случае – стоячей.

Длиной волны называют путь, который проходит возмущение (волна) за период колебаний Т: .

Уравнением волны называют закон, по которому определяются значения какой-либо физической характеристики колебаний в любой момент времени на любом расстоянии от источников возбуждения колебаний.

Волна называется гармонической, если колебания в ней происходят по гармоническому закону.

Распространение волны в однородной изотропной непоглощающей среде описывается дифференциальным уравнением в частных производных – волновым уравнением

, (1.1)

где v – фазовая скорость волны (см. ниже), – оператор Лапласа (оператор Гамильтона в квадрате).

Если волна распространяется в среде со скоростью v и колебания в ней осуществляются по какому-либо закону, то любая частица среды, находящаяся на расстоянии х от источника, будет совершать колебания согласно такому же закону спустя время , называемое временем запаздывания. Считая волну одномерной, можно подстановкой показать, что решением уравнения (1.1) является функция, сходная по виду с выражением, описывающим рассмотренные ранее гармонические колебания (см. Колебания, часть II настоящего пособия)

(1.2)

или

. (1.2^/)

Отличие заключается в появлении в выражении фазы слагаемого с временем запаздывания .

Стоячая волна образуется при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды. Например, поперечная стоячая волна образуется на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в движение, продольная стоячая волна – при отражении звуковой волны от перегородки в воздушной трубе. При этом

. (1.20)

Точки, в которых функция координаты А_ст=0, называются узлами, если А_ст=2А₀ – пучностями стоячей волны (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Расстояние между двумя соседними узлами (пучностями) одинаково, есть длина стоячей волны, которая равна .

Стоячая волна, в отличие от бегущей, энергию не переносит, вернее две встречные бегущие волны, образующие при наложении стоячую, переносят равную энергию в прямо противоположных направлениях.

В упругой стоячей волне скорость колебания частиц , а относительная деформация среды . Относительная деформация опережает v_ч по фазе на . Когда достигает максимума, v_ч=0, и наоборот, т.е. кинетическая энергия колеблющихся частиц среды превращается в потенциальную энергию деформации среды, и наоборот. Поэтому энергия периодически мигрирует от узлов стоячей волны к ее пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю. Среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, так как две встречные бегущие волны, образующие при наложении стоячую, переносят равную энергию в прямо противоположных направлениях.

11. Эффект Доплера в акустике и для ЭМВ. «Красное» и «фиолетовое» смещение. Упругие волны с низкими частотами называются звуковыми или акустическими, слышимыми называются волны с частотой 16 Гц <v<20000 Гц.

Эффектом Доплера называют изменение частоты v (длины ) волны, воспринимаемой приемником сигнала при движении источника сигнала и приемника друг относительно друга. Например, понижение тона (частоты) воспринимаемого человеком гудка тепловоза, удаляющегося от перрона.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть источник сигнала движется со скоростью v_ист к неподвижному приемнику вдоль прямой, их соединяющей (рис. 1.5, а), пусть скорость сигнала (волны) в среде v. Тогда за период колебаний в волне Т источник завершает излучение одной длины волны, приблизившись на расстояние v_истТ к приемнику, т.е. длина волны воспринятая приемником (наблюдателем) будет . Знак «–» соответствует рассматриваемому случаю приближения источника к приемнику, а «+» – удаления. Так как и , то частота, воспринятая приемником

. (1.21)

а) б)

Рис. 1.5

2. Пусть источник неподвижен, а приемник (наблюдатель) движется со скоростью v_пр вдоль прямой, их соединяющей (рис. 1.5, б). Тогда наблюдатель будет воспринимать одну длину волны за время . Знак «+» соответствует случаю приближения приемника к источнику, а «–» – удаления. С учетом и можно записать

. (1.22)

В случае одновременного движения источника и приемника друг относительно друга, объединяя формулы (1.21) и (1.22), можно получить

. (1.23)

Так как движение объектов может быть сложным, то в формуле (1.23) можно использовать проекции скоростей источника и приемника сигнала на выбранное интересующее нас направление, в результате чего выражение усложняется, появляются тригонометрические функции

. (1.23^/)

Красное смещение — сдвиг спектральных линийхимических элементов в красную (длинноволновую) сторону. Это явление может быть выражением эффекта Доплера или гравитационного красного смещения, или их комбинацией. Сдвиг спектральных линий в фиолетовую (коротковолновую) сторону называетсясиним смещением.

Теория красного смещения

В обоих случаях (Доплеровского эффекта или эффектов ОТО) параметр смещения   определяется как   , где   и   — значения длины волны в точках наблюдения и испускания излучения соответственно.

Доплеровское смещение длины волны в спектре источника, движущегося с лучевой скоростью   и полной скоростью  , равно

Гравитационное красное смещение было предсказано А. Эйнштейном (1911) при разработкеобщей теории относительности (ОТО). В линейном относительно гравитационного потенциала приближении   , где   и   — значения гравитационного потенциала в точках наблюдения и излучения соответственно.

 в том случае, когда в точке наблюдения потенциал больше (а модуль его меньше, так как потенциал — величина отрицательная).

Для массивных компактных объектов с сильным полем тяготения (напр., нейтронных звёзд ичёрных дыр) следует пользоваться точными формулами. В частности, гравитационное красное смещение в спектре сферического тела массой   и радиусом 

(  — гравитационный радиус,   — гравитационная постоянная) определяется выражением

Наблюдение красного смещени

Каждый химический элемент поглощает или излучает электромагнитные волны на строго определённых частотах. Поэтому каждый химический элемент образует в спектре неповторимую картину из линий, используемую в спектральном анализе. В результатеэффекта Доплера и/или эффектов ОТО, частота излучения от удалённых объектов, например, звёзд, может изменяться (понижаться или повышаться), а линии соответственно будут смещаться в красную (длинноволновую) или синюю (коротковолновую) часть спектра, сохраняя, однако, своё неповторимое относительное расположение. Смещение линий в красную сторону (обусловленное удалением объекта) и называется «красным смещением».

11. Принцип суперпозиции (наложения) волн. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. Принцип суперпозиции (наложения) волн применяется только для линейных сред, т.е. сред, в которых скорость волны не зависит от ее интенсивности: при распространении в линейной среде одновременно нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы в среде равно геометрической (векторной) сумме смещений, которые получает частица, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции любая волна может быть представлена в виде суммы волн. Например, при разложении в ряд Фурье любая, даже несинусоидальная, волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн с различными амплитудами и частотами или гармоник, т.е. в виде волнового пакета или группы волн. Совокупность частот волнового пакета называется спектром частот или просто спектром.

Требование линейности среды обусловлено тем, что сигнал при перемещении в ней не изменяет своей формы, так как все синусоидальные или косинусоидальные (гармонические) волны, образующие данный волновой пакет, имеют одинаковые фазовые скорости, равные скорости сигнала.

Простейший пример применения принципа наложения волн – получение группы волн при наложении двух плоских косинусоидальных волн, распространяющихся вдоль оси Ох и имеющих близкие частоты и волновые числа (рис. 1.3, вспомним биения, см. Колебания, часть II настоящего пособия)

(1.10)

Рис. 1.3

За скорость распространения этой квазикосинусоидальной волны принимают скорость перемещения точки, в которой амплитуда А имеет какое-либо фиксированное значение, например, А=0 или А=2А₀, т.е. эта точка движется по закону , откуда

(1.11)

– групповая скорость, равная скорости переноса энергии (энергия ~ A²) волновым пакетом или группой волн.

Связь между групповой и фазовой скоростью можно определить, подставляя в формулу (1.11) из формулы (1.5) с учетом равенств и :

. (1.12)

Т.е. фазовая и групповая скорость совпадают для недиспергирующих сред, где скорость v не зависит от длины волны (и, следовательно, частоты v): .

11. Электромагнитные волны и их свойства. Энергия электромагнитных волн. Электромагнитными волнами (ЭМВ) называются поперечные возмущения электромагнитного поля (ЭМП), т.е. переменное ЭМП, распространяющееся в пространстве. В ЭМВ векторы (рис. 2.1), образуя с вектором скорости волны правую тройку. Свет также является ЭМВ. Гипотеза об этом была высказана Дж.Максвеллом еще до экспериментального обнаружения ЭМВ. Так как на человеческий глаз воздействуют в основном колебания вектора , то он называется световым вектором. Оставаясь взаимноперпендикулярными с течением времени, векторы и изменяются так, что в зависимости от разности фаз и соотношения амплитуд их концы могут описывать эллипс, круг, прямую, т.п. В зависимости от этой преобладающей в колебаниях векторов траектории, колебания называют поляризованными эллиптически, циркулярно, линейно, т.п. Плоскость, простирающаяся по лучу волны, в которой происходят такие колебания, называется плоскостью поляризации. Плоскость, в которой колеблется вектор ( ), называется плоскостью колебаний. Плоскость поляризации и плоскость колебаний всегда взаимно перпендикулярны. Естественный (неполяризованный) свет характеризуется всевозможной ориентацией колебания вектора напряженности . Различают также частично поляризованный свет, когда колебания в каком-либо направлении ослаблены.

Рис. 2.1

Колебания векторов в ЭМВ описываются уравнениями

, (2.1)

. (2.2)

Связь между модулями векторов в ЭМВ задается выражением

. (2.3)

Сравнивая формулы (2.1), (2.2) и (1.1), можно увидеть, что фазовая скорость ЭМВ

, (2.4)

где n – абсолютный показатель преломления среды, =(299792,462 0,018) м/с 310⁸ м/с – скорость света в вакууме ( =1, =1).

Действие электромагнитного излучения или электромагнитных волн (ЭМВ) определяется его энергией, которая, в свою очередь, определяется частотой (длиной) волны v ( ). Границы в приведенной классификации следует рассматривать как условные, так как на стыке диапазонов проявляемые свойства позволяют отнести излучение к обоим соседствующим диапазонам (табл. 2.1).

Источниками инфракрасного (ИК) излучения являются нагретые тела, которыми можно считать практически все тела вплоть до температур, близких к абсолютному нулю (0 К).

Рентгеновское излучение или рентгеновские лучи возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества.

Гамма-излучение ( -излучение) испускается возбужденными атомами при радиоактивном распаде и ядерных реакциях, распаде частиц и их аннигиляции, т.п. -излучение сопровождает перечисленные процессы, но не является единственным видом излучения, ими порождаемым.

Для ЭМП в линейной изотропной несегнетоэлектрической и неферромагнитной среде объемная плотность энергии ЭМП (см. формулы (4.15), (11.11), часть II данного пособия)

. (2.5)

Вектор плотности потока энергии – вектором Умова (Умова–Пойнтинга) для ЭМВ с учетом формулы (1.7) определяется выражением

(2.6)

и зависит от типа поляризации ЭМВ.

11. Законы геометрической оптики. Принципы построения изображения в тонких линзах. Формулы тонкой линзы. Геометрическая оптика рассматривает распространение света в вакууме, прозрачных средах и на границах сред, а также принцип действия оптических приборов и формирование изображения на основе представления о свете как о совокупности световых лучей. При этом не затрагиваются представления о природе света, не вдаются в корпускулярно-волновой дуализм его свойств (см. далее). Под световым (геометрическим) лучом обычно понимается направление распространения ЭМВ. Геометрическая оптика основывается на ряде законов. Условия применимости законов геометрической оптики: размеры препятствий (отверстий) должны быть много больше длины волны падающего света; расстояние от препятствий (отверстий) до рассматриваемых точек за препятствиями (отверстиями) должно быть значительным.

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. Тень с резкими границами от предмета, освещенного точечным источником света, размеры которой можно вычислить по законам классической геометрии, доказывает прямолинейность распространения света. Точечный источник света – источник света, размеры которого малы по сравнению с расстоянием от него до места наблюдения.

Закон независимости распространения световых лучей: отдельные световые пучки (лучи света), пересекаясь, не взаимодействуют.

Закон отражения света: луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с перпендикуляром MN, восстановленным к границе раздела сред в точке падения; угол отражения равен углу падения (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Закон преломления света: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр N, восстановленный к границе раздела сред в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред, называемая относительным показателем среды второй среды относительно первой n₂₁ (рис. 3.1):

. (3.1)

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

n₂₁=n₂/n₁. (3.2)

Абсолютным показателем преломления среды называется величина n, равная отношению скорости ЭМВ в вакууме с к их фазовой скорости в среде v (см. формулу (2.4)):

n=c/v. (3.3)

Если n₂₁>1, то говорят, что свет распространяется из оптически более плотной среды (n₂>n₁) и , если n₂₁<1 – наоборот. При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную при некотором предельном угле падения угол преломления оказывается равным . Таким образом, при наблюдается непрохождение луча во вторую среду, а его полное отражение в первую среду. Данное явление используется, например, в световодах, в оптических приборах для поворота лучей и изображения.

На основании законов геометрической оптики можно рассчитать сдвиг треугольной стеклянной призмой изображения точечного источника света S для наблюдателя (рис. 3.2):

.

Рис. 3.2

В связи с зависимостью показателя преломления n или фазовой скорости v от частоты света v или длины волны (дисперсия) свет различной частоты (цвета) отклоняется призмой на различные углы: наиболее отклоняется фиолетовый свет, наименее – красный. Так белый свет (как совокупность всех цветов – частот) разлагается призмой в спектр (лат. spectrum – видение) – плавно переходящие друг в друга разноцветные полосы.

11. Интерференция волн. Когерентность. Условия максимумов и минимумов при интерференции. Видимость полос. Когерентными называются волны, которые согласованно протекают во времени и пространстве, у которых разность фаз не изменяется с течением времени. Это возможно только в случае одинаковых частот и волновых чисел волн: , , .

При наложении в пространстве двух или более когерентных волн в разных точках среды наблюдается усиление или ослабление возмущения в зависимости от разности фаз накладывающихся волн – интерференция волн. Если рассмотреть случай наложения двух сферических волн вида

, ,

(r_i – расстояние от i-го источника возмущения до рассматриваемой точки среды) то, вспомнив метод вращающихся векторов или векторных диаграмм при сложении сонаправленных колебаний (см. Колебания, часть II настоящего пособия, формулы (14.20), (14.21)), можно получить

,

где , (1.13)

. (1.14)

В зависимости от значения разности фаз под знаком косинуса формула (1.13) принимает вид либо квадрата суммы, либо квадрата разности, что для амплитуды результирующего возмущения в данной точке среды означает либо (max), либо (min):

. (1.15)

С учетом выражения (1.15) формула (1.13) примет вид

.

Если , ( – max), то с учетом можно записать условие интерференционного максимума в виде

. (1.16)

Часто условие (1.16) при равенстве начальных фаз записывают как

. (1.17)

По аналогии условие интерференционного минимума ( )

(1.18)

или при равенстве начальных фаз

. (1.19)

11. Опыт Юнга. Рассмотрим два монохроматических (с одной частотой) когерентных источника света, полученных в результате падения света от одного источника на непрозрачный экран с двумя щелями (рис. 4.1, опыт Юнга).

Рис. 4.1

Выберем расстояние l>>d (d – расстояние между щелями). В точке О всегда наблюдается усиление света, так как разность хода интерферирующих волн равна нулю (см. условие (4.4)). Для произвольной точки М на экране можно записать:

, .

Так как d<< l, то , а , откуда

. (4.6)

Если в точке М выполняется условие интерференционного минимума (4.3), гашение света, то

, . (4.7)

Если в точке М выполняется условие интерференционного максимума (4.3), усиление света то

, . (4.8)

По определению ширина интерференционной полосы

. (4.9)

Из равенства (4.9) видно, что ширина интерференционной полосы увеличивается с уменьшением расстояния d между источниками (щелями), поэтому для получения четкой, различимой интерференционной картины необходимо выполнение условия l>>d. Если источник монохроматический, то на экране будет наблюдаться ряд чередующихся темных и светлых полос. Если источник немонохроматический, например, белого света, то полосы на экране будут цветными за исключением центрального белого максимума, где для любой длины волны разность хода будет равна нулю. Все остальные полосы будут радужно окрашенными, так как для каждой длины волны будет своя разность хода . При этом красные полосы будут удалены от центральной больше, чем фиолетовые, так как при всех прочих равных условиях .

Интерференционные полосы можно наблюдать и в воздушном клине, если положить одну плоскопараллельную пластинку на другую, а под один из концов верхней пластинки подложить небольшой предмет для образования воздушного клина (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Принимая толщину воздушного клина , для разности хода получаем

, (4.10)

где появление второго слагаемого обусловлено отражением световой волны от оптически более плотной среды (показатель преломления стекла больше показателя преломления воздуха бусловлено отражением световой волны от оптически более плотной среды ()ования воздушного клина.ю пластинку на другую, а между), при этом отражающиеся световые волны меняют фазу на , что эквивалентно прохождению ими дополнительного пути (дополнительной разности хода) .

На границе, где стеклянные пластинки соприкасаются d=0 и , поэтому наблюдается темная полоса (минимум). Первая светлая полоса (максимум при m=1) наблюдается согласно условию (4.4) при . С учетом равенства (4.10) получим толщину воздушного клина в данном месте . По аналогии вторая светлая полоса (максимум) придется на и т.д. Эти полосы, каждой из которых соответствует своя вполне определенная толщина клина или параллельной пластинки, называют полосами равной толщины. Они могут быть параллельными линиями, концентрическими окружностями и иметь любую форму в зависимости от расположения точек, соответствующих . Угол клина должен быть очень мал, иначе полосы равной толщины ложатся друг на друга и их нельзя различить.

Полосы равной толщины в виде концентрических колец (колец Ньютона – классический пример) можно получить, если положить плосковыпуклую линзу с большим радиусом кривизны (R=10–100 м) на плоскопараллельную пластинку (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Они получаются в результате отражения лучей от стеклянного клина ОАВ. Лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей линзы, а также от стеклянной пластинки, не интерферируют, так как из-за большой толщины нарушается условие временной когерентности. В результате наложения лучей 1^/ и 1^//, отраженных в точках А и В, возникают кольца Ньютона.

Для радиуса r кольца Ньютона из треугольника АDC при R>>b получаем . Отсюда и разность хода . Для радиусов светлых (максимумы) и темных (минимумы) колец с учетом условий (4.3) и (4.4) для m 0

, m=0, 1, 2, … (4.11)

, m=0, 1, 2, … (4.12)

Измеряя радиусы колец Ньютона при известном радиусе кривизны линзы, можно рассчитать длину световой волны , и наоборот.

11. Интерференция на воздушном клине. Интерференционные полосы можно наблюдать и в воздушном клине, если положить одну плоскопараллельную пластинку на другую, а под один из концов верхней пластинки подложить небольшой предмет для образования воздушного клина (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Принимая толщину воздушного клина , для разности хода получаем

, (4.10)

где появление второго слагаемого обусловлено отражением световой волны от оптически более плотной среды (показатель преломления стекла больше показателя преломления воздуха бусловлено отражением световой волны от оптически более плотной среды ()ования воздушного клина.ю пластинку на другую, а между), при этом отражающиеся световые волны меняют фазу на , что эквивалентно прохождению ими дополнительного пути (дополнительной разности хода) .

На границе, где стеклянные пластинки соприкасаются d=0 и , поэтому наблюдается темная полоса (минимум). Первая светлая полоса (максимум при m=1) наблюдается согласно условию (4.4) при . С учетом равенства (4.10) получим толщину воздушного клина в данном месте . По аналогии вторая светлая полоса (максимум) придется на и т.д. Эти полосы, каждой из которых соответствует своя вполне определенная толщина клина или параллельной пластинки, называют полосами равной толщины. Они могут быть параллельными линиями, концентрическими окружностями и иметь любую форму в зависимости от расположения точек, соответствующих . Угол клина должен быть очень мал, иначе полосы равной толщины ложатся друг на друга и их нельзя различить.

Полосы равной толщины в виде концентрических колец (колец Ньютона – классический пример) можно получить, если положить плосковыпуклую линзу с большим радиусом кривизны (R=10–100 м) на плоскопараллельную пластинку (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Они получаются в результате отражения лучей от стеклянного клина ОАВ. Лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей линзы, а также от стеклянной пластинки, не интерферируют, так как из-за большой толщины нарушается условие временной когерентности. В результате наложения лучей 1^/ и 1^//, отраженных в точках А и В, возникают кольца Ньютона.

Для радиуса r кольца Ньютона из треугольника АDC при R>>b получаем . Отсюда и разность хода . Для радиусов светлых (максимумы) и темных (минимумы) колец с учетом условий (4.3) и (4.4) для m 0

, m=0, 1, 2, … (4.11)

, m=0, 1, 2, … (4.12)

Измеряя радиусы колец Ньютона при известном радиусе кривизны линзы, можно рассчитать длину световой волны , и наоборот.

11. Кольца Ньютона. Полосы равной толщины в виде концентрических колец (колец Ньютона – классический пример) можно получить, если положить плосковыпуклую линзу с большим радиусом кривизны (R=10–100 м) на плоскопараллельную пластинку (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Они получаются в результате отражения лучей от стеклянного клина ОАВ. Лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей линзы, а также от стеклянной пластинки, не интерферируют, так как из-за большой толщины нарушается условие временной когерентности. В результате наложения лучей 1^/ и 1^//, отраженных в точках А и В, возникают кольца Ньютона.

Для радиуса r кольца Ньютона из треугольника АDC при R>>b получаем . Отсюда и разность хода . Для радиусов светлых (максимумы) и темных (минимумы) колец с учетом условий (4.3) и (4.4) для m 0

, m=0, 1, 2, … (4.11)

, m=0, 1, 2, … (4.12)

Измеряя радиусы колец Ньютона при известном радиусе кривизны линзы, можно рассчитать длину световой волны , и наоборот.

11. Интерференция света в тонких пленках. Просветление оптики. Часто интерференция света наблюдается в естественных условиях, например, окраска мыльных пузырей, тонких пленок различного происхождения на поверхности воды.

При падении воды, на, в общем случае, неоднородную по толщине пленку падающая волна частично отражается и частично преломляется во вторую среду как на верхней, так и на нижней границе пленки (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Для лучей 1^/ и 1^// разность фаз, а, следовательно, и результат интерференции определяется разностью хода волн:

, (4.13)

где – длина волны в i-среде. Формула (4.13) получена для рис. 4.4 на основе формулы (1.15) в случае равенства нулю начальных фаз . Добавочная величина в формуле (4.13) обусловлена тем, что при отражении от оптически более плотной среды ( ) в отраженной волне фаза изменяется на , что эквивалентно дополнительному пути в первой среде .

Выражая длины волн в формуле (4.13) через длину волны света с такой же частотой v, распространяющегося в вакууме со скоростью с:

=v₁/v=c/(vn₁), =v₂/v=c/(vn₂),

получим

, (4.14)

где l_i – геометрическая длина пути, пройденного интерферирующими волнами в i-среде, s_i=n_il_i – оптическая длина пути световой волны в i-среде, – оптическая разность хода волн.

Условия интерференционного минимума и максимума выражаются формулами (4.3) и (4.4) соответственно.

Для плоскопараллельной пластинки , поэтому величина может быть выражена через величины , , d (рис. 4.4): , , , . Тогда, подставляя все в формулу (4.14), с учетом n₁=1 (для воздуха), n₂=n получим

.

Так как по закону преломления , то

. (4.15)

Интерференция может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем сквозь пленку свете (лучи 2^/ и 2^//). При этом разность хода для проходящего света меньше, чем для отраженного на величину . Следовательно, минимумам в отраженном свете соответствуют максимумы в проходящем свете, и наоборот.

Рассмотренная модель справедлива при условии, что коэффициент отражения R<<1, поэтому рассматривалось только взаимодействие волн первого отражения от верхней и нижней границ пленки. Если R велик, то есть прохождение света во вторую среду достаточно малое, необходимо рассматривать интерференцию многих волн, т.е. волн не только первого отражения, но и второго, третьего и т.д.

Явление ослабления (гашения) отраженного света вследствие интерференции используется для так называемого просветления оптики. Для этого на поверхность оптики наносится пленка такой толщины, чтобы осуществлялся минимум отражения для зеленого света с 550 нм, соответствующего максимуму чувствительности человеческого глаза. Поэтому просветленная оптика (линзы, призмы, т.п.) кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как максимум отражения приходится на красную и фиолетовую видимую область спектра. Наиболее полное гашение световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки, происходит при равенстве интенсивностей этих волн I₁=I₂ или R₁=R₂. С учетом сказанного для абсолютного показателя преломления просветляющего покрытия (пленки) для воздушной атмосферы справедливо выражение

, (4.16)

где n_опт – абсолютный показатель преломления оптики (линзы, призмы, т.п.).

11. Принцип Гюйгенса-Френеля. Явление дифракции. Дифракция Френеля.

12. Принцип Гюйгенса-Френеля. Явление дифракции. Дифракция Фраунгофера.

13. Дифракция на щели, дифракционная решетка. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брэггов.

14. Голография. Разрешающая способность оптических приборов.