15.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс
Для
электрического колебательного контура
сопротивлением
R,
электроемкостью C,
индуктивностью L,
суммарной ЭДС источников
(рис. 15.5) по закону Ома можно записать:
сумма падений напряжений на элементах
контура равна сумме ЭДС, действующих в
этом контуре (ЭДС источника и ЭДС
самоиндукции)
,
отсюда
с учетом
имеем дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний
,
(15.18)
где и определяются выражениями (15.7), (15.8).
Рис. 15.5
Аналогично
механическим колебаниям, если
(т.е. изменяется по гармоническому
закону), то
,
а
,
(15.19)
.
(15.20)
Находя производную , можно получить аналогичные выражения для тока I.
Резонанса – выделения необходимой частоты, например, при настройке радиоприемника на радиостанцию, добиваются, как правило, путем изменения параметров колебательного контура R, C, L.
Переменный ток и напряжение в простой RLC цепи. Активное и реактивное сопротивление цепи. Полное сопротивление цепи. Рассмотрим вынужденные установившиеся электромагнитные колебания на примере электрической цепи переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т.е. считать мгновенные значения напряжения U и тока I постоянными, так как скорость распространения электромагнитных волн (ЭМВ) с велика, а частота изменения напряжения и тока обычно сравнительно невелика. Поэтому для мгновенных значений переменных U и I во всей электрической цепи можно считать выполняющимися закон Ома и правила Кирхгофа.
Рассмотрим последовательно электрические цепи переменного тока, содержащие резистор, катушку, конденсатор.
а) |
б) |
в) |
Рис. 16.1 |
||
Пусть подаваемое напряжение изменяется по гармоническому закону
,
(16.1)
тогда по закону Ома в каждом из случаев:
а) случай рис. 16.1, а)
,
(16.2)
где
.
Сравнивая (16.2) с (16.1), можно увидеть, что
ток для случая рис. 16.1, а) совпадает по
фазе с прилагаемым напряжением.
б)
(так как в катушке возникает ЭДС
самоиндукции при изменении тока через
катушку), следовательно
.
При интегрировании постоянная
интегрирования равна нулю, так как
постоянная составляющая тока отсутствует,
имеем:
,
(16.3)
где
,
– индуктивное реактивное сопротивление,
вводимое по аналогии с обычным
электрическим сопротивлением R
в законе Ома
и называемым активным сопротивлением.
.
(16.4)
Сравнивая
(16.3) и (16.4), можно увидеть, что ток отстаёт
по фазе от напряжения на
.
в) Так как ток переменный, то конденсатор постоянно перезаряжается
,
(16.5)
где
– ёмкостное реактивное сопротивление,
также вводимое по аналогии с обычным
электрическим сопротивлением R
в законе Ома
и называемым активным сопротивлением.
.
(16.6)
Сравнивая (16.5) и (16.6), можно увидеть, что напряжение отстаёт по фазе от тока на .
Если применить метод векторных диаграмм, то каждой схеме на рис. 16.1 можно сопоставить диаграммы:
а) |
б) |
в) |
Рис. 16.2 |
||
Если рассмотреть цепь вида рис. 16.3, то совмещая все векторные диаграммы в одну получим рис. 16.4:
Рис. 16.3 |
Рис. 16.4 |
,
(16.7)
,
(16.8)
где
–
полное сопротивление цепи,
– реактивное сопротивление цепи,
вводимые по аналогии с
обычным электрическим сопротивлением
R
в законе Ома
и называемым активным сопротивлением.
Для
случая, когда конденсатора нет в цепи
(
),
то
,
что эквивалентно уменьшению расстояния
между обкладками конденсатора –
ликвидации разрыва цепи (и конденсатора).