7. Определите все параметры результирующего колебания при сложении двух сонаправленных колебаний с применением метода векторных диаграмм.

Сложение колебаний – нахождение значения результирующих колебаний системы при ее участии в нескольких колебательных процессах. Соответственно, различают сложение сонаправленных и взаимноперпендикулярных колебаний.

Сложение сонаправленных колебаний, например, происходит при колебании двойного пружинного маятника (рис. 14.7). Вспомним метод векторных диаграмм (рис. 14.1 и рис. 14.8). Для каждого груза смещение

Рис. 14.7

Рис. 14.8

,

.

Результирующее колебание: , где результирующая амплитуда находится по теореме косинусов:

. (14.20)

Фаза результирующего колебания (рис. 14.8) находится как

.

8. Какие колебания называются когерентными, синфазными, противофазными? Какие колебания называются биениями? Запишите формулы. Когерентными называются колебания, разность фаз которых во времени постоянна; т.к. , то это выполняется при , тогда , где амплитуда А и фаза Ф определяются соответственно выражениями (14.20) и (14.21). Тогда в зависимости от значения ( ) результирующая амплитуда А изменяется в пределах от при до при .

При колебания называются синфазными (в одной фазе), а при – противофазными.

При результирующий вектор будет изменяться по длине и вращаться с переменной скоростью. При сложении колебаний с близкими частотами возникают, так называемые биения ( ), тогда

где . Косинус берется по модулю, так как функция четная и поэтому частота биений , а не .

Рис. 14.9

Период биений (см. рис. 14.9).

Вообще, любое сложное колебание можно представить в виде ряда Фурье (разложение в ряд Фурье), где суммируются колебания с различными амплитудами, начальными фазами и кратными некоторой циклической частоте частотами:

Слагаемые называются первой (основной), второй и т.д. гармониками сложного периодического колебания; совокупность гармоник образуют спектр колебаний.

Рассмотрим сложение взаимноперпендикулярных колебаний. Пусть точка М участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях вдоль осей x и y: тогда , а т.к. , то тогда . Возведя в квадрат:

.

Подобным уравнением описываются эллиптически поляризованные колебания (траектория колеблющейся точки – эллипс). Ориентация эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз :

- если , , то при равенстве амплитуд уравнение примет вид уравнения окружности , такие колебания называется поляризованным по кругу;

- если , то – уравнение линии, т.е. имеем дело с линейно поляризованными колебаниями (знак «+» соответствует четным m, т.е. синфазным колебаниям, а «–» – нечетным m – противофазным колебаниям;

- если же частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны , то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна; замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами фигурами Ж.Лиссажу (1822–1880). Вид этих кривых зависит от соотношения частот, амплитуд и разности фаз складываемых колебаний.

9. Какие колебания называются циркулярно поляризованными? Эллиптически поляризованными? Кода они возникают? Сделайте вывод соответствующих формул. Подобным уравнением описываются эллиптически поляризованные колебания (траектория колеблющейся точки – эллипс). Ориентация эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз :

- если , , то при равенстве амплитуд уравнение примет вид уравнения окружности , такие колебания называется поляризованным по кругу;

- если , то – уравнение линии, т.е. имеем дело с линейно поляризованными колебаниями (знак «+» соответствует четным m, т.е. синфазным колебаниям, а «–» – нечетным m – противофазным колебаниям;

- если же частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны , то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна; замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами фигурами Ж.Лиссажу (1822–1880). Вид этих кривых зависит от соотношения частот, амплитуд и разности фаз складываемых колебаний.

10. Что называется фигурами Лиссажу? Что можно выяснить с помощью их анализа? если же частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны , то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна; замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами фигурами Ж.Лиссажу (1822–1880). Вид этих кривых зависит от соотношения частот, амплитуд и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 14.10 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной φ). Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

303

11. Какие колебания называют свободными затухающими? Когда они возникают? Какой режим колебаний называется периодическим, апериодическим и критическим? Что называют логарифмическим декрементом затухания и добротностью? Что они характеризуют в системе? Каковы их единицы измерения в системе СИ? Запишите и поясните однородное дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Свободные колебания в реальных системах всегда являются затухающими из-за рассеяния (диссипации) энергии колеблющейся системы во внешнюю среду в виде тепла, излучения, т.п. (по причине трения, омического сопротивления, т.п.). Например, на рис. 15.1 изображены свободные затухающие колебания электрического заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре (кривая 1 с уменьшающейся амплитудой А_n).

Режим апериодического затухания:  β > ω₀

В этом случае (при сильном затухании) подкоренное выражение положительно:  β² > ω₀². Корни характеристического уравнения действительны и отрицательны. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

где коэффициенты C₁, C₂, как обычно, зависят от начальных условий. Из полученного выражения следует, что в системе отсутствуют колебания и возврат к равновесному состоянию происходит по экспоненциальному закону, т.е. апериодически (рисунок 3).

Рис.3		Рис.4

      Случай 2. Граничный режим:  β = ω₀

В предельном случае, при  β = ω₀, корни характеристического уравнения будут совпадающими и действительными:

Здесь решение будет определяться формулой

В этом режиме величина x(t) может даже возрастать в начале процесса из-за действия линейного множителяC₁t + C₂. Но в итоге отклонение x(t) быстро уменьшается вследствие экспоненциального затухания с характерным временем τ = 2π/ω₀. Заметим, что в данном критическом режиме релаксация происходит быстрее, чем в случае апериодического затухания. Действительно, в данном режиме время релаксации будет определяться меньшим (по абсолютной величине) корнем λ₁ и будет составлять

Входящая в это выражение функция Ф(β/ω₀) является монотонно возрастающей и всегда больше или равна 1, как видно из рисунка 4. В рассматриваемом граничном случае (случай 2) отношение β/ω₀ равно 1, а в случае апериодического затухания (случай 1) β/ω₀ > 1. Поэтому для апериодического режима затухания справедливо соотношение

Таким образом, граничный или критический режим релаксации обеспечивает максимально быстрый возврат системы в равновесное состояние. Конструкции такого типа используются, например, при закрывании дверей.

      Случай 3. Режим малого затухания:  β < ω₀

Здесь корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными:

Общее решение дифференциального уравнения имеет колебательный характер и записывается как

где частота колебаний ω₁ равна

Полученную формулу можно записать в несколько другом виде:

где φ₀ − начальная фаза колебаний и Acosφ₀ − начальная амплитуда колебаний. Видно, что в этом режиме происходят классические затухающие колебания. При этом частота колебаний ω₁ меньше гармонической частоты ω₀, а амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону  exp(− βt).

Для количественной характеристики затухания колебаний в системе используют ряд величин.

Логарифмическим декрементом затухания (колебания) называется величина

, (15.1)

где А(t) и А(t+Т) – амплитуды колебания в данный момент времени и через период Т соответственно; – время, спустя которое амплитуда уменьшается в е раз, – время затухания; – коэффициент затухания; N – число полных колебаний за время .

Добротностью колебательной системы (контура) называется безразмерная величина

(15.2)

где w(t) и w(t+T) – энергии колеблющейся системы в данный момент времени и спустя период Т соответственно, каждая из которых прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебания в этот момент времени.

При малых величина

. (15.3)

В случае затухающих колебаний корректнее говорить об условном периоде колебаний Т, так как процесс не является строго периодическим. Определяя условный период Т следует учитывать влияние тормозящих сил, понижающих частоту колебаний и удлиняющих, таким образом, условный период Т по сравнению с и Т₀ для свободных незатухающих колебаний в данной системе

. (15.4)

Такой учет происходит через введение коэффициента затухания , определяемого формулой (15.1) и . Отсюда соотношение между частотами затухающих колебаний и свободных незатухающих (собственных) колебаний

. (15.5)

Общий вид однородного дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний можно получить, обращаясь к формуле (14.16) для колебательного контура:

(15.6)

– однородное дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, где под Q может подразумеваться любая физическая величина. В зависимости от физической природы колебательной системы коэффициент затухания и собственная частота (частота свободных незатухающих колебаний при отсутствии тормозящих сил в этой системе) описываются различными выражениями:

- для электрического колебательного контура сопротивлением R, электроемкостью C, индуктивностью L

, (15.7)

, (15.8)

; (15.9)

- для пружинного маятника с грузом массой m, пружиной жесткости k: сила сопротивления прямо пропорциональна скорости груза v, обозначая коэффициент пропорциональности (коэффициент сопротивления среды b), II закон Ньютона можно записать в виде , , где

, (15.10)

, (15.11)

. (15.12)

Если колебательный режим описывается кривой 1 рис. 15.1, то он называется периодическим, если кривой 2 (когда система за кратчайшее время приходит в положение равновесия, не переходя его) – критическим, если кривой 3 (когда система плавно без колебаний приходит в положение равновесия, не переходя его, но не за кратчайшее время) – апериодическим.

Кратчайшее время определяется исходя из следующих соображений.

β − коэффициент затухания.