3.2 Решения уравнения Матье

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде:  , где   имеет период  . При   эти решения являются периодическими с периодом   и называются функциями Матьё. Они обозначаются как:  .

Функции Матье можно представить в виде сумм косинусов или синусов:

где величины   являются функциями от величин   в уравнении Матьё. Значения  можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса  , коэффициент упругости   и коэффициент затухания  . Если эти коэффициенты зависят от времени, и  , то уравнение движения имеет вид

(3.2)

Сделаем замену переменной времени   → , где  , что приводит уравнение (1) к виду

(3.3)

Сделаем еще одну замену   →  :

(3.4)

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

(3.5)

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида

(3.6)

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты  , аналитическое решение уравнения в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости   уравнение является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости   — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

1. Рассмотрим случай, когда  , то есть уравнение имеет вид

(3.7)

Где   — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты  , постоянная   — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что  . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра  , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение   неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

(3.8)

2. Рассмотрим случай, когда   , то есть уравнение имеет вид

(3.9)

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой  . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов  , происходит в случае, когда

(3.10)

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

(3.11)

где  , и  . В случае, когда   и ограничиваясь первым порядком разложения по  , получим, что

(3.12)

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний   и её удвоенного значения  , — не случаен. Можно показать, что в случае уравнения

(3.13)

Параметрический резонанс имеет место, когда

(3.14)

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника  , а ширина резонанса равна  . Важно также, что при наличии трения, в уравнении

(3.15)

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых  , а лишь при тех  .

Таким образом, при наличии трения что позволяет надлежащим выбором параметров  , , и  , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.