1. Методы выделения областей устойчивости

Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы, если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когда часть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужно выбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либо дополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимость определения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространстве параметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.

Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости.

Если часть корней характеристического уравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости, то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.

При использовании алгебраических критериев нужно исходить из условия, что система находится на границе устойчивости, если часть коэффициентов и определителей равна нулю, остальная часть – больше нуля. Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы на границе устойчивости:  а₀=0; а_n=0;  =0.

После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверить остальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они были больше нуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров. Тогда найденные значения будут граничными.

Поэтому для определения граничных значений варьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты и определители.

1.1 Определение областей устойчивости

Пусть все коэффициенты характеристического уравнения

(1.1)

замкнутой системы заданы, кроме одного, например,  .

Допустим, что коэффициент   изменяется от нуля до бесконечности. Будем придавать этому коэффициенту ряд значений и определять при этом значения всех   корней характеристического уравнения. Если на некоторой вещественной полуоси отмечать для каждого значения   точку, которой соответствует определенное распределение корней на комплексной плоскости, то выбранная полуось может быть разбита на ряд отрезков в зависимости от того, все или не все корни левые. На стыках таких отрезков один или несколько корней находятся на мнимой оси (рис. 1.1, а).

Если в уравнении изменяются два коэффициента, то на плоскости этих коэффициентов, вычисляя все корни уравнения, можно выделить области устойчивости и неустойчивости (рис. 1.1, б).

Аналогично можно исследовать совокупность нескольких коэффициентов характеристического уравнения. Наиболее просто область устойчивости выделяется для уравнения (рис. 1.1, в):

:  ,  . (1.2)

Рисунок 1.1 – Зоны и области устойчивости

1.2 Система автоматического управления

Система автоматического управления (САУ) поддерживает или улучшает функционирование управляемого объекта. В ряде случаев вспомогательные для САУ операции (пуск, остановка, контроль, наладка и т.д.) также могут быть автоматизированы. САУ функционирует в основном в составе производственного или какого-либо другого комплекса.

Среди физических параметров, характеризующих систему автоматического управления, всегда имеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся для определенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знать диапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохранения устойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.

Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D - областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D - разбиением.