Министерство образованиЯ и науки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное БЮДЖЕТНОЕ образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»

Факультет «Математика и естественные науки»

Кафедра «Математическое моделирование процессов и технологий»

Построение областей устойчивости уравнений Матье и Хилла

(отчет по курсовой работе

по дисциплине «Дифференциальные уравнения»)

Утверждаю: зав. кафедры ММПТ, д.ф.-м.н., профессор		К.В. Кетова
Руководитель: к.ф.-м.н., ст. преподаватель	(подпись, дата)	Е. В. Касаткина
Выполнил: студент гр. Б03-012-1	(подпись, дата)	Р. В. Симонов

Ижевск 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ 5

1.1 Определение областей устойчивости 6

1.2 Система автоматического управления 7

1.3 Построение областей устойчивости 7

1.4 Понятие о D-разбиении пространства коэффициентов характеристического уравнения 11

2. УРАВНЕНИЕ ХИЛЛА 14

2.1 Решения уравнения Хилла 14

2.2 Сфера Хилла 16

3. УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ 17

3.1 Диаграмма Айнса-Стретта 17

3.2 Решения уравнения Матье 19

3.3 Анализ устойчивости форм колебаний 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

Введение

В последние десятилетия теория дифференциальных уравнений развивалась чрезвычайно быстро под влиянием сил, действующих как изнутри, так и извне. Внутренние силы вызвали развитие и углубление топологических и аналити­ческих методов, созданных в начале столетия Ляпуновым, Пуанкаре и Бендиксоном и некоторыми другими авторами. Силой, действующей извне, было развитие техники, в частности техники связи, теории сервомеханизмов, автоматического управления и электроники.

В своих исследованиях Ляпунов, Пуанкаре и другие авторы исходили из потребностей астрономии, но те методы, которые были ими развиты, нашли большое применение и в других областях науки.

В процессе проведения компьютерного эксперимента удается выявить степень влияния воздействий на исследуемый объект, т.е. удается проводить исследование математической модели при параметрических и постоянно действующих возмущениях, зависимости решения от того или иного параметра. Это позволяет целенаправленно использовать теорию управления для получения необходимых свойств математической модели. Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания модели, обладающей требуемыми свойствами. Так, например, если построенная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не будет устойчивой, то она и не будет «работоспособной».

Значительный интерес представляет исследование управляемых математических моделей, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами, так как многие динамические процессы моделируются указанными дифференциальными уравнениями. Во многих случаях законы механики, управляющие теми или иными процессами, могут быть выражены в форме дифференциальных уравнений второго порядка, а расчет этих процессов сводится к их решению. В частности, исследование динамических процессов источников света, а также изучение механизмов и узлов машин и агрегатов легкой и химической промышленности приводят к задаче исследования устойчивости и неустойчивости, колеблемости и неколеблемости решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом х + p(t)x = 0.

Следует отметить, что актуальной проблемой является развитие методов математического моделирования стабилизирующих управлений и решения задачи оптимальной стабилизации программного движения (переходного процесса) уравнений Хилла и Матье. На базе развитой качественной теории поведения решений уравнений Хилла и Матье является важным развитие теории оптимальной стабилизации уравнения и разработки практических способов решения задачи оптимальной стабилизации.