1.2. Двухпроводная линия и её эквивалентная схема

Двухпроводная линия (далее просто – линия) – это два длинных параллельных провода, в которых генератором могут возбуждаться токи высокой частоты. Линия называется длинной, если выполнены условия:

l≥λ=υ/f, d≪λ/4, (3)

г де f – частота генератора, λ – длина волны в линии, υ – скорость распространения возмущения вдоль линии (как будет показано далее, для линии в воздухе или в вакууме υ=с=3·10⁸ м/с), l – длина линии, d – расстояние между проводами (рис. 1). Кроме того, для простоты дальнейших рассуждений и формул будем считать провода линии тонкими, т.е. полагать, что их радиусы r≪d.

Т ак как для длинной линии не выполнено условие (2), то она является типичной цепью с распределёнными параметрами и процессы в ней будут не квазистационарными, а волновыми. Для их анализа представим линию состоящей из множества малых участков длиной dx. Каждый такой участок обладает некоторыми активным сопротивлением dR, индуктивностью dL, ёмкостью dC, а также проводимостью утечки dG. Тогда эквивалентную схему линии можно изобразить в виде, показанном на рис. 2.

Однако практически вместо величин dR, dL, dC и dG удобно ввести так называемые погонные параметры линии, т.е. параметры, относящиеся к единице её длины:

R₀= − погонное активное сопротивление линии,

L₀= − погонная индуктивность линии,

С₀= − погонная ёмкость линии,

G₀= − погонная проводимость утечки в линии.

Если величины R₀, L₀, C₀ и G₀ одинаковы во всех сечениях линии, то линия называется однородной.

1.3. Телеграфные уравнения

Для длинной линии в целом пользоваться уравнениями Ома и Кирхгофа нельзя, поскольку для неё не выполнено условие (2). Однако их можно применить для любого малого её участка, так как по отношению к поперечному размеру линии это условие выполнено.

Пусть в однородной длинной линии возбуждаются электрические колебания. Поскольку условие квазистационарности для неё не выполнено, то напряжение между проводами и ток в них будут являться непрерывными функциями времени t и координаты х вдоль линии: и=и(x, t), i=i(x, t); причём ток, текущий по одному из проводов, равен и противоположно направлен току, текущему напротив него вдоль другого провода.

Р азобъём линию на малые участки длиной dx. На каждом таком участке активное сопротивление равно R₀dx, индуктивность – L₀dx, ёмкость – C₀dx, проводимость утечки – G₀dx (рис. 3). Пусть i(x,t) и и(x,t) – ток в проводах и напряжение между ними в начале участка dx, а i(x+dx,t) и и(x+dx,t) – в конце. Запишем второе уравнение Кирхгофа для контура ABCD, обходя его по часовой стрелке:

,

или

.

Деля это уравнение на dx и учитывая, что

,

получаем

. (4а)

Запишем теперь первое уравнение Кирхгофа для узла В:

,

где

.

Таким образом,

.

Точно так же, деля это уравнение на dx, получаем

. (4б)

Уравнения (4а) и (4б) являются основными для линии с распределёнными параметрами и называются телеграфными уравнениями.

Далее везде будем предполагать, что линия является однородной и потери в ней отсутствуют, т.е. R₀=0, G₀=0, а L₀ и С₀ – постоянны. Тогда телеграфные уравнения (4а) и (4б) примут вид:

, (5а)

. (5б)

Покажем, что уравнения (5а) и (5б) описывают волновой процесс в линии. Для этого продифференцируем (5а) по х, а (5б) по t и, подставив затем из второго уравнения в первое, получим

, (6)

где

υ= . (7)

Уравнение (6) называется волновым. Его общее решение имеет вид

, (8)

где f₁ и f₂ – произвольные дважды дифференцируемые функции, первая из которых описывает процесс распространения волн напряжения вправо (по оси х) со скоростью υ и называется прямой (падающей) волной а вторая – влево (против оси х) и называется обратной (отражённой) волной. Конкретный вид функций f₁ и f₂ определяется формой возбуждающего сигнала.

Из (5а) и (5б) аналогично легко получить такое же волновое уравнение для тока:

,

общим решением которого также является функция вида

,

описывающая волны тока вправо и влево по линии со скоростью υ.