8. Метод суперпозиции для непрерывного параметра

Пусть , тогда можно считать, что есть двумерная плотность.

1. Моделируем η по плотности . 2. Моделируем ξ по плотности - η из пункта 1. Рассмотрим общий пример: Надо промоделировать случайную величину ξ с заданным распределением:

Вычислим плотность η от у: , а теперь по известной формуле вычислим.

Вычислим плотность (условная вероятность): . На втором шаге моделируемиз такого распределения не зависящего от у:.

Получаем решение: - задача упростилась, но мы используем 2 случайных числа.

Итог:

Вычисляем . Вычисляем при уже известном η.

9. Метод исключения. Оптимизация.

, ,

Доказательство: , а η – равномерно распределена от 0 до. ОбластьGбудет равномерно заполнена.

Рассмотрим обратный ход, т.е. область G- равномерно заполнена, значит плотность совместного распределения, если. Тогда можно перейти к условным плотностям:. Т.о. верны оба рассуждения.

Придумаем для области Gдругую областьG1, которую удобно заполнять. Будем равномерно заполнять область G1, при этом некоторые точки будут равномерно заполнять областьG, и будем исключать точки которые областиGне принадлежат:, таким образом мы будем заполнять равномерно только областьG. В этом случае ξ распределено в соответствии с искомой плотность: .

Шаг 1: равномерно заполняем областьG_1.для этого моделируем, и с ее помощью моделируем

Шаг 2: убираем лишние точки. Если, то ξ – искомый ответ, если нет – то нужно вернутся к первому шагу.

Как выбрать функцию ? Это мажорирующая функция, и она должна удовлетворять условиям:

1.

2. - легко моделировать в смысле того, что должен получаться простой и быстрый алгоритм.

3. Не слишком много точек должно быть выкинуто, т.е. чтобы быстрее получались нужные точки должна быть близка к-близка к 1.

Основной цикл программы: do{получить }while

Оптимизация метода исключений.

Введем параметр λ, который будет приближать g₁(x) кg(x). Пусть у нас есть неg(x), а плотностькоторую необходимо промоделировать, возьмем плотностьp₁(x) которая имеет более простой вид и соответственно промоделировать ее проще.

В этом случае мы берем не функции, а плотности. Это значит что площади под графиками p₁(x) иp(x) равны единице, а это в свою очередь значит, чтоp₁(x) не сможет полностью поместить в себеp(x) см. рисунок. Для этого умножаем нашу плотность на, т.е. на самое большое соотношение между плотностями (самое большое расстояние между ними). И при этом берем из возможныхминимальное подля того чтобы соотношение площадей было максимально приближено к 1 (потому что когда мы умножаем плотность на этот супремум она перестаем быть равной 1). Тогда получаем условие на.

Условие оптимизации:

Процесс оптимизации – усложняет мажорирующую функцию, а также создает проблемы с поиском функции и параметра, и следовательно замедляет программу.

10. Замена переменных. Использование полярных координат.

Дискретные:	η	ξ	р	Пусть есть случайная величина которую надо промоделировать , но это сложно. И пусть еще одна случайная величина. Известна также связь между ними -.

.

В общем виде: если в 2-х мерном пространстве есть искомая точка и мы заменой переменных переходим к случайной точке:. Нужно следить за взаимооднозначностью преобразований и за монотонностью. Еслине монотонна, то е нужно разбить на кусочки.

Рассмотрим случай с полярными координатами.

полярные координаты

Подобрать . , т.е. функция от координат. . По координата равномерно распределена.

Моделируем такие случайные величины, а потом переходим обратно: .

Получаем с заданным распределением: