Модификация метода моделирования дискретных случайных величин с повышенной эффективностью.
Сократим число циклов. Математическое
ожидание числа циклов (сколько в среденем
раз будем вычитать до того как получим
:
- единица появляется из-за того что в
любом случае программа должна выполнится
хотя ба 1 раз.
дает вклад в это число, его надо уменьшить.
|
В
этом случае
|
В
этом случае
|
большая,
т.к совершается много шагов.
значительно меньше.
Суть метода заключается в том что,
получив (сгенерировав)
мы начинаем проверку не с первого
отрезка, а делаем сразу большой шаг, а
потом смотрим, осталось ли оно справа
или слева, после чего идем все меньшими
шагами в нужную сторону.
|
Рассмотрим пример с распределением
Пуассона. (на графике изображены
вероятности). В этом распределении
максимум соответствует среднему
значению
пусть
Можно вычислить
|
|
|
Присваиваем Р – максимальное
значение вероятности, m
– ее номер, а Q
– значение суммы всех предыдущих
вероятностей. Значение
Если
Если
| |
.
- максимальная из вероятностей, тогда
(в этом примере)
- целая часть есть смысл это делать,
если
,
т.к. если оно близко к 1 то теряется
смысл этого алгоритма, потому что мы
не сделаем в начале «большой шаг».
.
будет больше нуля, если
справа от отрезка
,
и меньше в противном случае.
,
то мы уменьшаем значение
,
и снова сравниваем
с нулем. Если
,
то значит мы попали в нужный отрезок
и числоmдаст номер
ответа. Если
,
то снова немножко уменьшаем значение
Р и проверяем М.
,
то сравниваем с нулем величину
,
если
,
то мы попали в нужный отрезок иmдаст номер ответа. Если нет, то изменяем
значение Р и снова проверяем М.
Общий метод моделирования непрерывных случайных величин.
Из
получаем
- непрерывная величина:
,
которая подчиняется заданному
распределению, т.е. известна либо функция
распределения
,
либо плотность распределения
:
.
Пусть
решаем неравенство относительно
.
- монотонно возрастающая
.
Можем записать первое равенство потому
что события и
абсолютно эквивалентны между собой. А
второе равенство можно записать следуя
определению и свойствам случайной
величины
:
равномерно распределена на отрезке от
0 до 1, тогда можно записать что вероятность
,
а нашем случае как раз ситуация когда
.
Таким образом
или
.
Т.е. в качестве функции, которая преобразует
в искомую случайную величину
берем функцию обратную данной функции
распределения.
- монотонно убывающая
.
Таким образом
или
.
|
Получили что
|
|
и
обладают одинаковыми распределениями
и следовательно их не отличаем, поэтому
общая формула для получения непрерывной
случайной величины имеет вид:
Этот метод называется методом обратных функций.
Эквивалентная формула через плотность:
решить относительно
уравнение
(или решить относительно
уравнение
).
Используем этот метод, чтобы промоделировать длину свободного пробега.
|
Она складывается из вероятностей долететь до этого участка и из вероятности на нем провзаимодействовать. |
Какой вид будет иметь
| ||||||
|
Тогда
Для того чтобы промоделировать
| |||||||
- вероятность того что частица
провзаимодействует на отрезке [x,x+dx].
?
и полное решение запишется в виде
(математически корректно записать
так):
.
:
.
Под знаком логарифма должна стоять
величина, равномерно распределенная
на [0.1], поэтому
заменили на
.