Лекция 10. Функция от св. МногомерныеСв.

Функция от СВ. Пусть ДСВ Х имеет ряд распред x_i x₁ x₂ …p_i p₁ p₂ и пусть y=g(x)- монотонная ф-я от аргумента х, тогда ДСВ Y=g(X) будет явл ф-ей от СВ Х, а её ряд распред будет иметь вид

y_i g(x₁) g(x₂)

p_i p₁ p₂

З. Если y=g(x) – не монотонная ф-я, то среди её зн-й g(x₁),g(x₂)… м б равные. В этом случае столбцы с равными зн-ями g(x_i) объед в 1 столбец, а соотв вер-ти складывают.

Т1 (ФР ф-и от СВ). Пусть Х-СВ с ФР F_x(x),а ф-ия y=g(x) явл монотонной, тогда ФР СВ Y=g(X) будет иметь вид:

F_X(g^-1(y)),если g(x) – монотонно возрастает

F_Y(y)=1-F_X(g^-1(y)),если ф-ия g(x) – монотонно убывает. Здесь x=g^-1(y) – есть ф-ия обратная к ф-ии y=g(x).

Док-во:Сл1.y=g(x)возраст. Тогда F_y(y)=^def P{Y<y}=P{g(X)<y}=!g(X)<y X<g ^-1(y),т к g(x) возрастает=P{X<g ^-1(y)}=^defF_x(g ^-1(y)). Сл2.y=g(x)убывает F_y(y)=^def P{Y<y}=P{g(X)<y}=!g(X)<y X>g ^-1(y),т к g(x) убывает!=P{X>g ^-1(y)}=!перейдем к протививопол соб P{Х<g ^-1(y)}!=1-P{Х<g ^-1(y)}=1-F_x (g ^-1(y))

Следствие. Если Х – НСВ с плотностью вер-ти f_X(x),а y=g(x) –монотонная дифференцируемая ф-ия, то плотность вер-ти СВ Y=g(X) равна f_Y(y)=f_X(g^-1(y)*│ dg^-1(y)/dy│ позвол найти нов велич, зная плотность исходной и закон преобр.

З! МО СВ Y=g(X) можно найти, зная закон распреде-я лишь СВ Х.

∑_i=1ⁿg(x_i)p_i, для ДСВ

M(Y)=M(g(X))=_-∞∫^∞g(x)*f_X(x)dx, для НСВ

Опр 1Сов-ть n СВ (Х₁,Х₂,…,Х_n), рассматриваемых совместно наз n-мерной СВ.

Типы двумерных СВ.

1. дискретная – если возможн зн-я (x_i,y_i) образуют конечное или счётное мн-во. 2. непрерывная – если возможн зн-я сплошь заполняют не*ую обл-ть на плоскости.

Опр 2Матрицей распределения двумерной ДСВ (X,Y) наз таблица вида: Здесь p_ij=P{X=x_i;Y=y_j}.

Св-ва вероятностей p_ij

1) ∑_i=1ⁿ∑_j=1^mp_ij=1 – условие номеров. 2) ∑_j=1^mp_ij=p_i=P{X=x_i} 3) ∑_i=1ⁿp_ij=p_j=P{Y=y_i}

З. Св-ва 2) и3) означ, что если задана матрица распред-я двумерной ДСВ , то можно найти ряды распред-я одномерных СВ X и Y.

Опр3ФР двумерной СВ (X,Y) наз вер-ть совместного выполн-я 2-х нерав-в: X<x;Y<y,т.е. F(x,y)=P{X<x,Y<y}.

Т1. Если СВ X и Y независ, то F(x,y)=F_X(x)*F_Y(y), где F_X(x),F_Y(y) –ФР СВ X и Y соотв.

Док-во:F(xi,yi)=P{X<x,Y<y}=P({X<x}{Y<y})=!X,Y-независ СВ=>{X<x},{Y<y}также независ!=P{X<x}*P{Y<y}=^defF_x(x)*F_y(y)

Опр4Плотностью вер-ти двумерной НСВ (X,Y) наз 2ая смешанная производная её ФР т.е. f(x,y)=∂²F(x,y)/∂x∂y.

З. Если СВ X и Y независ, то f(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)

Числовые хар-ки двумерной СВ.

Опр5Ковариацией или корреляционным моментом СВ Х и Yназ МО произведения отклонений этих величин. Обознач cov (X,Y) или K_xy: K_xy=M[(X-M(X))(Y-M(Y))].

З. Ковариация хар-ет взаимною завис-ть СВ- X и Yи для ДСВ нах-ся по ф-ле K_xy=∑_i=1ⁿ ∑_j=1^m(x_i-M(X))(y_j-M(Y))*p_ij.

З. Если СВ X и Y независ, то K_xy=0.

Опр6Коэффициентом корреляции СВ Х и Y наз выражение r_xy=K_xy/σ_x σ_y.

З. Для любых СВ Х и Y выполн соотнош -1≤r_xy≤1 при этом если r_xy=0, то СВ X и Yназ некоррелированными, в противном случае – коррелированными.