Лекция 7. Числовые хар-ки с.В.

Опр. 1 Математическое ожидание (М.О.) ДСВ Х наз-ся сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности. Обозначают: М(Х) или Е(Х). .

Зам-е. Если ДСВ х принимает четное множество значений (n=∞),то .При этом предполагается, что сущ-ет предел .

Опр2. Математическое ожидание НСВ с плотностью вероятности f(x) наз-ся выр-е M(x)= (при этом предлагается, что интеграл сходится).

Зам-е! при большом количестве испытаний среднее арифметическое наблюдаемое значение CD Х близко к ее МО. Поэтому МО СВ иногда наз-ют средним значением или центром распределения вероятностей СВ.

Опред.3. СВ Х и У наз-ся независимым если закон распределения каждой из них не зависит от того какие возможные значения приняла другая величина, в противном случае СВ Х и У наз-ся зависимыми.

Св-ва МО.

1. М(С)=С, где С- константа

2. М(СХ)=СМ(Х), где С – константа

3. М(Х+-У) =М(Х)+-М(У)

4. М(ХУ)=М(Х)М(У), если Х,У – нез-е

Опр. Дисперсия СВ наз-ся МО квадрата отклонения СВ от ее МО. Обозначают D(Х). D(X)=

Зам-е. Дисперсия хар-ет степень рассеяния (разброса) значений СВ относительно ее МО (среднего значения).

Непосредственное выч-е значения дисперсии осуществляется по ф-лам:

D(x)= - для ДСВ

D(x)= - для НСВ

Св-ва Дисперсии

D(x)=M(x)² –M² (x)

D(c)=0 – где с- константа

D(cx)=c²D(x), c-const

D(x+-y)=D(x)+D(y) – если Х и У независимы.

Опр-е: Ср. квадратичным отклонением (СКО) СВ наз-ся кв. корень от ее дисперсии

Зам-е. размерность величин М(Х) и σ(Х) совпадает с размерностью самой СВ Х, а размерность D(X) равна квадрату размерности СВ Х.

Опр. Модой ДСВ Х наз-ся ее наиболее вероятное значение а, а модой НСВ Х наз-ся такое ее зн-е, при котором плотность вероятности достигает максимума, обозн. Мо(Х).

Зам-ние. Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, то распределение называется полимодальным.

Опр. Медианой Ме(Х) НСВ Х наз-ся такое ее зн-е, при к-м P{x>Me(X)}=P{x<Me(X)}=0.5.

Зам. Геометричесик медиана НСВ Х - это такая точка Ме(Х) на оси Ох, для которой вертикальная прямая х=Ме(Х) делит площадь фигуры от кривой распр-я на 2 равные части

Опр 8 Квантилем уровня р(или p- квантелем) СВ наз-ся такое значение х_p, при котором вып-ся равенство .

Зам-ние. Медиана CD есть квантиль уровня 0.5, т.е. Ме(Х)=х_0.5.

Опр. Начальным методом к-го порядка СВ наз-ся число _К=М(Х^К). Центральным моментом к-го порядка СВ Х наз-ся число μ_К= М[x-M(x)]^К.

Лекция 8.Основные законы распределения дсв

Опр1. Говорят, что ДСВ Х имеет биноминальный закон распределения, если она принимает значения 0,1,2,…,n с вероятностями , где 0<p<1, q=1-p, m=0,1,…,n.

Замеч: Вероятности P{Х=m}находится по формуле Бернулли. Следовательно ДСВ, распределенная по биномиальному закону -это число наступления события А(число «успехов») в n испытаниях Бернулли.

Теорема 1:МО и дисперсия СВ Х, распределенной по биномиальному закону, соответственно равны: M(X)=np, D(X)=npq.

Док-во:СВХ-число наступлений соб А (успех) в n исп Бернулли. => ее можно предст в виде X=∑ⁿ_k=1X_k, X_k (k=1,2…n)-случайная величина,*ая выраж число наступлений соб А в k-том испытании, т е X_k=1,если соб А наступило в k-том испытании, X_k=0,если соб А не наступило в k-том испытании. Т к исп Бернулли явл независ и вер-ть появления соб А в каждом испытании постоянна,то => СВ Х1,Х2…Хn независ м/у собой и каждое из них имеет 1 и тот же закон распред-я X_k(k=1,2…n): x_i 0 1, p_i g p.

Найдем числовые хар-ки СВ X_k (к=1,2…n). M(X_k)=^def∑²_i=1xipi=0*g+1*p=p D(X_k)=^def∑²_i=1[xi-M(X_k)]²pi=[0-p]²g+[1-p]²p=p²g+g²p=pg(p+g)=pg. Тогда M(X)=M(∑ⁿ_k=1X_k)=∑ⁿ_k=1M(X_k)= ∑ⁿ_k=1p=np.

D(X)=D(∑ⁿ_k=1X_k)=!X1,X2…Xn-независ!= ∑ⁿ_k=1D(X_k)= ∑ⁿ_k=1pg=npg.

Зам: Биноминальный закон распределения широко используется при проведения выборочного контроля качества продукции, при описании систем массового обслуживания, и других областей.

Опр : говорят, что ДСВ Х имеет закон распределения Пуассона ,если она принимает значения 0,1,2,…(счетное множество) с вероятностями , где m=0,1,2,…; -параметр закона Пуассона.

Теорема 2:МО и дисперсия СВ Х, распределенной по закону Пуассона , равны параметру этого закона ,т.е. М(Х)= ,D(X)= .

Теорема3:Сумма двух независимых СВ, распределенных по закону Пуассона с параметрами и ,есть СВ ,так же распределенная по закону Пуассона с параметром .

Док-во:Пусть независ СВ X,Y распред по закону Пуассона сооттв с парам λ₁ и λ₂. Докажем,что СВ Z=X+Y также распред по закону Пуассона с парам λ=λ₁+λ₂. Очевидно,что возможн зн-я СВ Z следующ:0,1,2…Найдем соотв им вер-ти P{Z=n}= P{X+Y=n}=P(∑ⁿ_m=0{X=m,Y=n-m})=!слагаемые в сумме попарно несовместны!= ∑ⁿ_m=0P{X=m,Y=n-m} =∑ⁿ_m=0P({X=m}*{Y=n-m})(X,Y-независ по усл теоремы)= ∑ⁿ_m=0 P{X=m}*P{Y=n-m}=∑ⁿ_m=0 λ1^me^-λ1/m!* λ2^n-me^-λ2/(n-m)!=e ^{-(λ1+ λ2)}* ∑ⁿ_m=0 λ₁^m *λ₂ ^n-m*n!/m!(n-m)!*n!= e ^{-(λ1+ λ2)}/n!* ∑ⁿ_m=0 C^m_nλ1^mλ2^n-m (бином (λ₁+ λ₂)ⁿ)= e ^{-(λ1+ λ2)}/n!*(λ₁+ λ₂)ⁿ=e^-λ λⁿ/n!