Теория вероятности Лекция№1 Случайные события

Опр1: опыт, эксперимент, наблюдение явления будем называть испытанием.

Опр2: произвольное множества Ω (омега) называем пространством элементарных событий, а элементы ω (омега) этого множества будем называть элементарными событиями (элементарными исходами).

Замечание: элементарным событием соответствует взаимоисключающие исходы опыта (испытания).

Опр3: произвольное подмножество пространство элементарных событий называется случайным событием или просто событием. Обозначают: А, В, С…

Опр4: говорят, что в результате испытания осуществилось (наступило) событие А, если произошло элементарное событие ω Є А.

Операции над событиями

Опр5: суммой событий А и В называется событие С, состоящее из всех элементарных событий, которые входят или в событие А или в событие В или в то и другое. Обозначают: С = А + В или С = A U В.

Замечание: событие А + В состоит в том, что произошло по крайней мере одно из двух событий А или В.

Опр6: произведением событий А и В называется событие С, состоящее из всех элементов, которые одновременно входят в обои события А и В. Обозначают: С = АВ или С = А ∩ В.

Замечание: событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно и событие А, и событие В.

Опр7: разностью событий А и В называется событие С, состоящее из всех элементарных событий, которые входят в А, но не входят в В. Обозначают: С = А – В или С = А\В.

Виды случайных событий

Опр8: пространство элементарных событий называется достоверным, а пустое множество называется невозможным событием.

Опр9: события А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т. е. АВ = Ø, в противном случае события называются совместными.

Замечание: несовместные события не могут наступить одновременно, а совместные могут.

Опр10: событие Ā = Ω – А называется противоположным событию А.

Замечание: событие Ā (не А) означает, что событие а не произошло.

Говорят, что соб А входит в соб В, или соб А влечет за собой соб В и пишут: А , если все эл-ые события мн-ва А входят в В

Св-ва операций над событиями:

1) А+ =Ω 2) А =Ø 3) (А+В)С=АС+ВС 4) = * 5) = + 6) А*Ω=А

Классич. опред-е вер-ти

Вер-ть Р(А) соб А равна отношению кол-ва эл-х событий m, входящих в состав события А к кол-ву всех возможных эл-х событий n:

Р(А)=|A| / |Ω|=M/n

З Символ |М| обозначает число эл-в любого конечного мн-ва М (мощность мн-ва) З! Классич. опред-е вер-ти примен-ся тогда, когда:

1) простр-во эл-х событий Ω конечно, т.е. |Ω|=n (конечное число)

2)все эл-ые события ω_i- равновер-тны (равновозможны), т.е Р(ω_i)=1/n для ¥ i=1,2…n

Св-ва вер-ти:

1)Р(ω)=1 2)Р(Ø)=0 3) 0≤Р(А) ≤1 , для ¥ А 4)Р( )=1-Р(А) 5) АсB =>Р(А) ≤ Р(В) 6) А и В несовместны, то Р(А+В)= Р(А)+ Р(В)

Лекция №2 Вероятность событий

1. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества различных комбинаций, которые можно составить из элемента произвольно конечного множ-ва.

Перестановками-называется комбинации составленные из одних и тех же n различных элеметнов, которые отличаются между собой только порядком расположения элементов. Общее число перестановок равно Pn!=n!=1*2*3*4…n

Пример: х={1,2,3} 123 132 213 231 312 321

Опр2. сочетанием-называется комбинации составленные из n различных элементов по m элементов которые отличаются между собой хотя бы 1 элементом. C n m = n!/m!(n-m)!

Замечание: в сочетание порядок расположение элементов не важен.

Опр3. размещениями наз-ся комбинации составленные из n различных элементов по m, которые отличаются составом элементов, либо их порядком. Общее число размещений A n m =n!/(n -m)!=n(n-1)…(n-m+1)- m сомножителей

Опр4. (геометрическое определение вероятности) если g часть области G, то при бросании на удачу точки в область G вероятность ее попадания в часть g=P=mes g/mes G, где символ mes означает мера (в одномерном варианте длина, двумерном-площадь, в трехмерном - объем)

Замечание. При геометрическом определении вероятности полагают:

1. пространство элементарных событий (Ω=G)

2. интересующее событие A=g

опр.5 (условная вероятность) вероятность события А, найденное при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события А, и обозначается символом P(A/B)

опр6. (независимость событий) 2 события А и В называются независимыми если вероятности появления каждого из них не зависит от того произошло ли другое событие или нет, т.е. если: P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B). При этом вероятности P(A) и P(B) называют безусловными вероятностями в противном случае события называют независимыми.

Замечание. зависимость и независимость событий всегда взаимно т.е. если А зависит от В то и В зависит от А, и наоборот. Кроме того, если события А и В независимы то независимы каждые 2 события А и В, А и В, А и В

Замечание. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий А и В = сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Следствие: если события А и В не совместны то P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии что первое событие уже наступило P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Следствие. Если события А и В независимы то Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Лекция 3Формула полной вероятности, формула Байеса.

Опр1. (полная группа событий) говорят что совокупность событий А1, А2…Аn образуют полную группу событий, если эти события попарно несовместны и в результате испытания обязательно наступает хотя бы одно из двух условий:

1. Ai*Aj=Ø(невозможные события), при I неравно j. 2. A1+A2+…+An=Ω

Торема1. сумма вероятностей событий А1, А2 …Аn образующих полную группу ,равна 1. P(A)+P(B)+…+P(An)=1

Теорема (формула полной вероятности) если событие А может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2…Вn, которое образуют полную группу событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: P(A)=Σ P(Bi)*P(A/Bi)

Доказательство. Поскольку события В1, В2…Вn образуют полную группу , то В1+ В2+…+Вn=Ω поэтому А=А*Ω=А(В1+ В2+…Вn)=АВ1 +АВ2 + +..АВn=Σ ABi. Т.к. события В1, В2… Вn попарно несовместны то и события АВ1, АВ2…АВn так же попарно несовместны Р(А)=Р(Σ АВi)=Σ P(ABi)=Σ P(Bi)*P(A/Bi)

Замечание. ФПВ применяется во всех случаях когда испытание со случайным исходом распадается на 2 этапа, на первом этапе как бы «разыгрывается» условие испытание, а на втором этапе его результат, событие В1, В2… Вn при этом обычно называются гипотезами, поскольку за ранее неизвестно какое из этих событий наступит.

Формула Байеса. P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi))/(Σ P(Bi)P(A/Bi))

Доказательство. По теореме умножения вероятностей имеем P(A/Bi)=P(A)* P(Bi/A)=P(Bi)* P(A/Bi) отсюда P(Bi/A)=(P(Bi)*P(A/Bi))/P(A)(*). С другой стороны по формуле полной вероятности P(A)=Σ P(Bi)*P(A/Bi)(**). Из формулы (*)и(**) получаем формулу Байеса

Замечание. Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой инфо-ии, состоящей в том, что в результате опыта произошло событие А.

Аксиомотическое построение теории вероятности(проеодолевает недостатки, присущие известным опред вероятности.-автор Толмогоров)

1.Каждому событию А соотв неотриц числоP(А), назыв его вероятностью.

2.Вероятность достоверного соб-ия =1P(гамма)=1

3. Если А1,А2,А3,Аn попарно несовм, то P(A1+A2+A3+An)=P(A1)+P(PA2)+P(An)