Вопрос 4. Энергетические уровни и зоны твердого тела. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Разрешенные и запрещенные зоны. Потенциальная кинетическая энергия электронов.

При сближении атомов происходит перекрытие волновой функции e. Каждый из разрешенных энергетических уровней расщепляется в зоны. При объединении n-атомов между ними возникают сильные силы взаимодействия и кристалл представляет единую кванто-механическую систему, характер. Единым энергетическим спектром.

Принцип неопределенностей Гейзенберга: ΔE*Δt ≥ħ; Δp*Δx ≥ħ; ħ = h/2π. Чем точнее определена одна из составляющих, тем менее точная другая.

Верхние зоны по ширине гораздо больше, чем нижние зоны. Электроны, находясь на нижних уровнях практически не взаимодействуют с соседними атомами (τ = 10^-8с, значительно больше времени жизни e на верхних уровнях - τ = 10^-15с). Нижние энергетические уровни практически не расщепляются в зоны, а верхние расщепляются и их ширина ΔE = 1-10эВ. У нижних ΔE = 10^-7эВ. Энергетический спектр кристалла представляет собой чередование разрешенных и запрещенных зон.

Проводимость возможна, когда есть свободные энергетические уровни. Такие уровни всегда есть в верхней зоне – зоне проводимости. Ближе к ней разрешенная зона – валентная зона. В зоне проводимости есть свободные уровни при низкой температуре. В валентной зоне при T = 0К свободных уровней нет, она всегда заполнена e. При повышении температуры часть e валентной зоны переходит на свободные уровни в зону проводимости, обеспечивая электропроводность. Процесс генерации: при разрыве ковалентных связей e из валентной зоны переходит в зону проводимости, где становится свободным носителем заряда, образ. В валентной зоне «дырки» проводимости. Когда e из зоны проводимости переходит в валентную зону на незанятые энергетические уровни соответственно «дыркам» - рекомбинация. При заданной температуре существует термодинамическое равновесие между процессами генерации и рекомбинации. Устанавливается равновесное состояние электронов и дырок и они равны для собственного полупроводника. Свободные носители заряда, возникающие в результате теплового возбуждения и находящиеся с решеткой в состоянии равновесия – равновесные (тепловые).

Положение e характеризуется потенциальной энергией. Энергия e, находящегося на «дне» разрешенной зоны и на «потолке» запрещенной зоны, называется потенциальной. Энергетические уровни «дна» и «потолка» соответствуют чисто потенциальной энергии. Кинетические энергия растет по мере приближения к разрешенной зоне.

Вопрос 5. Квазиимпульс и эффективные массы носителей заряда. Междолинный переход носителей заряда, зависимость энергии электрона от импульса.

p = m₀υ; E = p²/2 m₀.

Согласно де Бройлю e, движущимся со скоростью соответствует волна: λ=h/p=h/m₀υ. Между λ и E, существует связь: E = hν = hυ/λ. E = hυ/λ. Для e, движущимся в периодическом поле кристалла: p = ħk – квазиимпульс (k – волновой вектор: k=2πn/λ=2π/λ). k-число длин волн, укладывающихся на 2π длины. ħ-единичный вектор направления распространения волны. Т.к. k – дискретное, то p также квантован. p=ħk=ħk/2π. E = ħ² k²/2m = p²/2m.

Наличие периодического поля в кристаллах приводит к тому, что свойства e в кристалле отличаются от свойств e в вакууме. m₀ отличается от m в кристалле.

Эффективная масса: m^*=1/(d²E/dp²)=(h/2π)²=1/(2d²E/dk²). Различия между m^* и m₀ количественные и качественные. m^* e, находящегося в верхней части разрешенной зоны отрицательна, т.к. с ростом скорости их кинетическая энергия уменьшается (теряют кинетическую энергию) под действием ускорения поля. Для e, находящегося в нижний части разрешенной зоны m^* положительна.

Рассмотрим все с точки зрения волновой теории: λ~1/E. Нижняя часть разрешенной зоны: λ>>d. e слабо взаимодействует с внутренним полем. По мере увеличения энергии λ<<d, взаимодействие e усиливается и эффективная масса растет. В случае λ= m₀ – резонанс (когда внешнее поле не действует на e, m^*→∞). Эффективная масса дырок: ΔE_зп> ΔE_вз; m^*~1/E. В валентной зоне – электроны, в зоне проводимости – дырки. m^*_p> m^*_n (высокое быстродействие п/п приборов).

Междолинный переход: для e, движущегося в кристалле следует учитывать воздействие периодического поля (разрыв зависимости E=p²/2m). Разрыв: k пропорционально π. Энергетическая шкала состоит из разрешенных и запрещенных зон.

1-2: 1/(d²E/dp²)>0 2-3: 1/(d²E/dp²)<0 3: 1/(d²E/dp²)=0, m^*→∞.

рельефы позволяют выбрать оптимальную плоскость шлифовки кристалла. Область 1 – центральная долина, область 2 – боковая долина.

В зоне проводимости могут существовать e с одной E, но с разными p и m^*: E=p₁²/2m₁^*= p₂²/2m₂^*. p₁< p₂, m₁^*< m₂^*, в зависимости от рельефа получается e с различной эффективной массой.

В слабых электрических полях все свободные е имеют малые скорости и малые импульсы и эффективные массы – e находятся в центральной долине. В сильных электрических полях E_e> E₁₂, e переходят в боковую долину, эффективная масса увеличивается и e становится более тяжелым. m^*_ср изменяется с увеличением напряженности.