7.3. Учет затухания лорентцевых осцилляторов. Теория аномальной дисперсии и поглощения электромагнитных волн

В реальных веществах колебания лорентцевых осцилляторов всегда являются затухающими. Это связано с тем, что часть энергии в процессе колебаний лорентцева осциллятора переходит в тепло, т.е. в другие степени свободы материальной среды. Кроме того, трение возникает из-за самого процесса излучения (так называемое "радиационное трение"). Учет силы трения можно осуществить феноменологическим образом (не раскрывая механизма силы трения): путем введения в уравнение (7.2) дополнительного слагаемого:

.

(7.31)

Соответственно, вместо уравнения (7.9), мы приходим к следующему соотношению для амплитуд отклонения и напряженности электрического поля:

(7.32)

Здесь введено обозначение для величины, характеризующей затухание лорентцева осциллятора. Тогда для амплитуды вектора поляризации имеет место:

.

(7.33)

Соответственно для диэлектрической проницаемости ((((, учитывая (7.1.11), получаем:

.

(7.34)

Таким образом, учет затухания лорентцева осциллятора приводит к тому, что диэлектрическая проницаемость (((( становится комплексной величиной:

где

((((( = 1 +

,

(7.35)

(((((( =

.

(7.36)

В формулах (7.35) и (7.36) мы использовали определение плазменной частоты задаваемое соотношением (7.15). Комплексный характер функции приводит к тому, что показатель преломления также становится величиной комплексной: Для действительной и мнимой частей показателя преломления имеют место формулы

(7.37)

(7.38)

Как показывает анализ зависимостей 7.37 и 7.38, при вблизи резонансной частоты действительная часть показателя преломления уменьшается с увеличением частоты (с уменьшением длины волны), т.е. должен иметь место эффект аномальной дисперсии показателя преломления.

Таким образом, учет затухания в модели лорентцевых осцилляторов позволяет объяснить как нормальную, так и аномальную дисперсию в материальных средах.

Другой эффект, связанный с затуханием лорентцевых осцилляторов, состоит в поглощении электромагнитного излучения при его распространении в материальной среде. Экспериментально поглощение электромагнитного излучения описывается законом Бугера:

(7.39)

Здесь интенсивность излучения на входе в материальную среду , а соответствующая интенсивность на выходе плоскопараллельной пластины толщиной показатель поглощения. Обычно предполагается, что коэффициент является положительным, т.е. при прохождении электромагнитной волны через материальную среду должно происходить её ослабление, так как энергия исходной волны при прохождении через среду должна уменьшаться. Это согласуется с законом сохранения энергии, если учесть, что к материальной среде дополнительная энергия не подводится, а часть попавшей в вещество электромагнитной энергии переходит в тепло. Материальные среды, для которых коэффициент является положительным, называются пассивными. Отметим, что возможна также ситуация, когда коэффициент является отрицательным. Это осуществляется лишь в том случае, когда к материальной среде подводится энергия извне. При этом может происходить усиление электромагнитной волны после прохождения её через материальную среду. Среды, усиливающие электромагнитные волны, называются активными. В дальнейшем мы будем их изучать более подробно.

Зависимость (7.39) характеризует спектр пропускания электромагнитного излучения пассивной материальной средой. Установим связь между показателем поглощения и характеристиками лорентцевых осцилляторов. Интенсивность электромагнитного излучения, распространяющегося в заданном направлении через изотропную среду, равна плотности потока энергии, т.е. усредненному по времени модулю вектора Умова-Пойнтинга:

(7.40)

Для модулей напряженностей выраженных в комплексном виде, имеет место соотношение: Из соотношения (7.8), определяющего закон дисперсии поляритонных волн, имеем в случае комплексного показателя преломления:

.

(7.41)

Соответственно для электрического и магнитного полей и получим:

(7.42)

(7.43)

Таким образом, для интенсивности имеет место:

.

(7.44)

Из (7.43) мы получаем выражение для показателя поглощения в виде:

.

(7.45)

Учитывая соотношение (7.38), имеем:

.

(7.46)

Присутствие в материальной среде лорентцева осциллятора с собственной частотой (₀ приводит к резонансному поглощению вблизи этой частоты. Максимум полосы поглощения близок к резонансной частоте , а полуширина (ширина на половине высоты) этой полосы равна коэффициенту затухания Добротность лорентцева осциллятора характеризует "остроту" резонансной кривой поглощения.

Учитывая выражение для плазменной частоты (_p показатель поглощения может быть представлен в виде:

(7.47)

где концентрация лорентцевых осцилляторов, а так называемое эффективное сечение:

.

(7.48)

Эффективное сечение имеет физический смысл площади поперечного сечения атома или молекулы, поглощающих электромагнитное излучение с частотой , и по порядку величины составляет 10^-20 м². Таким образом, для конденсированной среды в области резонансного поглощения имеем: Величина показателя поглощения существенно меньше в случае разреженных сред, концентрация в которых на много порядков меньше, чем в жидкостях и твердых телах. Если в материальной среде имеется несколько типов лорентцевых осцилляторов, то соответственно, в спектре поглощения должно быть несколько резонансных максимумов. При этом спектр пропускания материальной среды обусловлен показателем поглощения следующего вида:

,

(7.49)

где коэффициенты зависят от сил и коэффициентов (_j соответствующих электронных осцилляторов. Вид спектров поглощения для конкретных веществ получается на основе построения зависимости интенсивности прошедшего через плоскопараллельную пластинку или пленку (если поглощение очень велико) электромагнитного излучения. Приборы, предназначенные для анализа спектров поглощения, называются спектрофотометрами. На рис. 7.9 приводятся спектры поглощения некоторых веществ. Область физики, связанная с получением спектров поглощения твердых тел, жидкостей и газов, называется абсорбционной спектроскопией.

Рис. 7.9. Спектры поглощения бензола (верхняя кривая) и толуола (нижняя кривая), растворенных в изооктане; по оси ординат отложена величина показателя поглощения в произвольных единицах (a. u.)

Задачи.

1. Найти показатель поглощения на резонансной частоте для газа с концентрацией атомов если эффективное сечение (формула 7.47).

Решение. Используем соотношение (7.47) для показателя поглощения : Подставляя в эту формулу соответствующие значения для концентрации и эффективного сечения, получаем:

2. Получить выражения для закона дисперсии, т.е. зависимости от длины волны в вакууме или от круговой частоты (, для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости плазмы с учетом затухания, если известны плазменная частота и коэффициент затухания

Решение. Используем общие соотношения (7.35) и (7.36) для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости:

.

Для плазмы Поэтому из формул 7.35 и 7.36 получаем:

.