§ 6. Методы решения матричных игр с седловой точкой

В данном параграфе укажем способы отыскания седловой точки матрицы и установления факта ее отсутствия. Поскольку любую матрицу можно считать платежной в игре, определенной этой матрицей, то тем самым будут указаны методы решения игр с седловой точкой и, следовательно, отыскания оптимальных стратегий в такой игре.

Пусть игра задана матрицей (5.1). Сформулируем метод отыскания нижней и верхней цен игры, т.е. чисел

, (6.1)

а также отыскания оптимальных стратегий игроков и цены игры, если они существуют.

Метод 1.

1) Фиксируем и находим , т.е. наименьший элемент первой строки матрицы . Затем придаем по очереди индексу значения 2,…, , и для каждого фиксированного находим наименьший элемент строки с фиксированным номером . Таким образом, будут найдены числа

, (6.2)

т.е. наименьшие элементы в каждой строке. Выбирая затем из чисел (6.2) наибольшее, найдем и в силу (6.1) число . Максимальные значения величин могут быть достигнуты и для нескольких индексов одновременно, т.е. получены одновременно в нескольких строчках.

2) Аналогичные операции проделываем для нахождения верхней цены по второй из формул (6.1). Для этого для каждого фиксированного

находим – наибольший элемент в -ом столбце. Выбираем из этих чисел наименьшее. Таким образом, найдем число . Заметим и здесь, что это число может быть получено одновременно для нескольких индексов . Оно и является значением .

3) Если , то игра не имеет седловой точки, т.е. не имеет решения во введенном ранее смысле, т.е. не имеет стратегии, приемлемой для обоих игроков одновременно. Решение прекращается.

Если , то игра Г или, что равносильно, матрица имеет седловую точку. Тогда запоминаем номера строк, в которых было получено число , т.е. те индексы , для которых числа (6.2) равны максимальному из них. Пусть такие строки имеют номера

(6.3)

(возможен случай, когда ).

4) Запоминаем номера столбцов, для которых числа равны минимальному из них, т.е. числу . Пусть число получено в столбцах с номерами

. (6.4)

(возможен случай, когда ) .

5) Выписываем итоги вычислений. Число является ценой игры, любая пара , в которой выбрано из множества индексов (6.3), а – из множества (6.4), является седловой точкой матрицы, т.е. решением игры Г . Любой из индексов (6.3) или (6.4) является оптимальной стратегией первого или, соответственно, второго игрока. Решение игры с седловой точкой окончено.

Замечание 1. Поскольку – значение функции выигрыша, если первый игрок выбрал стратегию , а второй – стратегию , а согласно лемме 3.2 значение функции во всех седловых точках совпадают, то все элементы матрицы при из множества (6.3) и – из множества (6.4) будут равны между собой.

Замечание 2. Если игра не имеет седловой точки, то после выполнения пунктов 1), 2) описанного алгоритма будет получено неравенство , которое лишь проиллюстрирует справедливость теоремы 5.1 о минимаксах и максиминах. Для игр без седловой точки будет введено новое обобщенное понятие решения игры и будут указаны методы отыскания таких решений.

Разберем примеры матричных игр с седловыми точками и без них.

Пример 6.1. В игре, заданной матрицей

,

найти цену и оптимальные стратегии игроков.

Согласно пункту 1) метода 1 фиксируем . Тогда . Фиксируя по очереди , , находим наименьшие числа в соответствующих строчках –2, 4, –6.Тогда = 4. Аналогично, фиксируя от 1 до 5, найдем наибольшие элементы 5, 4, 6, 7, 8 в каждом столбце. Тогда =4. Так как , то седловая точка существует, и в соответствии с пунктами 3) и 4) запоминаем, что значение получено в третьей строке, т.е. , а значение во втором столбце, т.е. . Таким образом, цена игры с матрицей , решением игры, т.е. седловой точкой является пара индексов (3,2). И действительно, . Итак, оптимальной стратегией первого игрока является третья, а второго игрока – вторая. Решение игры закончено.

Убедимся попутно, что второе утверждение теоремы 4.2 или ее частного случая теоремы 5.2 не является достаточным. Так, в примере 6.1 выполняется условие

,

но пара (3.1) не является седловой точкой матрицы .

Как же следует понимать решение? Вспомним, что игра заключается в том, что первый игрок выбирает свою стратегию, т.е. в данном случае номер строки, второй игрок выбирает свою стратегию номер . В результате первый игрок получает выигрыш в размере единиц. Число , естественно, может быть и отрицательным. Если игроки будут придерживаться своих оптимальных стратегий, то первый игрок выиграет 4 единицы. Если первый игрок будет выбирать свою оптимальную третью стратегию, а второй игрок не станет выбирать свою оптимальную вторую стратегию, то первый игрок может выиграть только больше. Выбор первым игроком своей оптимальной стратегии гарантирует ему выигрыш , чтобы не предпринимал противник. Таким образом, цена игры – это гарантированный выигрыш первого игрока, что бы ни предпринимал противник. Если же наоборот второй игрок будет придерживаться своей оптимальной второй стратегии, а первый игрок отступит от нее, то он может выиграть только меньшую сумму, а выбрав, например, четвертую, он вообще проиграет одну единицу.

Пример 6.2. В игре, заданной матрицей

,

определить цену, седловые точки и оптимальные стратегии игроков.

Повторяя рассуждения, проводившиеся при решении примера 6.1, установим, что минимальными элементами в строках являются числа 4, –4, 4, –6. Таким образом, =4. Максимальными элементами в столбцах являются числа 4, 7, 4, 6, 10. А наименьшее из них, и есть =4. Таким образом, цена игры . Значение достигается в первой и третьей строках, значит . Значение достигается в первом и третьем столбцах, значит . Значит, игра имеет четыре седловых точки, т.е. четыре решения (1,1), (1,3), (3,1), (3,3). Оптимальными стратегиями первого игрока являются первая и третья, такими же являются и оптимальные стратегии второго игрока. Заметим, что значения во всех седловых точках совпадают и равны 4. Решение примера окончено.

Если нас не интересуют сами по себе значения и в игре без седловой точки, то можно предложить более простой алгоритм нахождения седловых точек матричной игры. Он основан на использовании определения седловой точки, т.е. на отыскании такой пары индексов , для которой выполняются условия

. (6.5)

Заметим, что в силу (6.5) для седловой точки выполняются неравенства , т.е. элемент является наименьшим в строке с номером . Одновременно в силу (6.5) должны выполняться и неравенства т.е. элемент является наибольшим в столбце с номером . На этих соображениях и построен

Метод 2.

Выбирается строка с номером . В этой строке отыскиваются наименьшие элементы . Пусть ими будут . Если среди них нет таких, которые являются наибольшими с своем столбце, то среди пар индексов с первым номером нет седловых точек матрицы. Если же среди чисел есть такие, которые являются наибольшими в своем столбце, то их пары индексов представляют собой седловые точки матрицы и решениями матричной игры, а сами числа ценой игры. Исследовав все строки матрицы, найдем все седловые точки либо установим, что их нет.

Если вернуться к примеру 6.1 и решить его вторым методом, то просматривая строки матрицы заметим, что элемент и только он является наименьшим в строке и одновременно наибольшим в столбце. Пара индексов (3,2) и является в примере 6.1 решением игры.

Пример 6.3. Убедиться, что матрица

не имеет седловых точек.

Если решать этот пример по первому методу, то нужно, как в примере 6.1, убедиться, что , и так как эти числа не равны, то в силу теоремы 4.2 (или теоремы 5.2) матрица не имеет седловых точек.

Решим этот пример вторым методом. Убеждаемся, что в первой строке наименьший элемент –2 не является во втором столбце наибольшим, во второй строке наименьший элемент –1 не является в пятом столбце наибольшим. Точно так же наименьшие элементы –3 в третьей и четвертой строках не являются наибольшими в своих столбцах. Значит, матрица не имеет седловых точек.

У п р а ж н е н и я

1. Найти решения и цены игр, определенных следующими матрицами:

, ,

, .

Указание. Использовать метод 1 или метод 2 по аналогии с примерами 6.1, 6.2.

2. Убедиться, что не имеют седловых точек следующие матрицы:

, ,

, .

Указание: Использовать рассуждения примера 6.3.

2. Убедиться, что имеют по два решения игры, определенные следующими матрицами:

, ,

, .

Обратить внимание, что в соответствии с леммой 3.2 элементы матриц, соответствующие седловым точкам, т.е. значения функции выигрыша, совпадают.

4. Убедиться, что матрицы

, ,

, .

имеют по четыре седловые точки. Ответ для матрицы . Седловыми точками являются пары индексов (1,2), (1,5), (3,2), (3,5). Это соответствует первому утверждению леммы 3.2, а согласно второму утверждению этой леммы .

5. Доказать, что если у матрицы число седловых точек нечетно, то все элементы матрицы, имеющие своими индексами седловые точки, лежат в одной и той же строке или в одном и том же столбце матрицы.

Указание. Доказывать от противного, используя лемму 3.2.

6. Построить матрицу, имеющую 6 седловых точек.

7. Пусть – матрица размерности с элементами и – ее седловая точка. Тогда является и седловой точкой матрицы с элементами , где , а число произвольно. (Игры с матрицами и называются стратегически эквивалентными).

8. Построить платежную матрицу для следующей игры. Два игрока одновременно называют цифры 1 или 2. Если цифры совпали, то первый игрок выигрывает у второго игрока 1 рубль, в противном случае выигрывает ту же сумму второй игрок. Имеет ли эта игра седловую точку?

Указание. Требуется перечислить сначала стратегии игроков и не забывать, что любой элемент платежной матрицы это величина выигрыша первого игрока, если он выбирает стратегию с номером , а второй – с номером . Ответ: игра не имеет седловой точки.

9. У обороняющего населенный пункт полководца имеется две дивизии, а у наступающего – их 3. К населенному пункту есть два подхода. На этих двух участках и нужно расположить силы обороняющегося и наступающего. Чтобы прорвать оборону, наступающий должен иметь двукратное превышение сил на одном из участков. Населенный пункт будет взят наступающим, если будет прорвана оборона на одном из участков. Составить матрицу выигрышей за обороняющегося или за наступающего, оценивая достижение цели цифрой 1, а проигрыш – цифрой –1.

Смотреть указание к задаче 8.

Л и т е р а т у р а

1. Н.Н.Воробьев. Теория игр (для экономистов-кибернетиков). М.,«Наука», 1985.

2. Э.Г.Давыдов. Исследование операций. Учебное пособие М., 1990.

3. Л.А.Петросян, Н.А.Зенкевич, Р.А.Семина. Теория игр. Учебное пособие, М., «Высшая школа», 1998.

Дополнительная литература

1. Э.Г.Давыдов. Методы и модели теории антагонистических игр. М.,Изд-во МГУ, 1978.

2. Г.Н. Дюбин, В.Г.Суздаль. Введение в прикладную теорию игр. М., «Наука», 1981.

3. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М. «Физматгиз», 1960.

4. Г.Оуэн. Теория игр. М., «Мир», 1971.

Содержание

Введение …………………………………………………………………. 3

§1. Основные определения теории игр, математическая …………….. 4

формализация игровых понятий и модель игры

§2. Антагонистические игры и седловые точки………………………... 10

§3. Две общих леммы о седловых точках………………………………. 13

§4. Максиминные и минимаксные стратегии ………………………….. 15

§5. Матричные игры……………………………………………………... 20

§6. Методы решения матричных игр с седловой точкой ……………… 22

У п р а ж н е н и я ………………………………………………………….27

Рекомендуемая литература………………………………………………..30