§ 5. Матричные игры.
В данном параграфе приводятся определение матричных игр и их общие свойства.
Определение 5.1. Антагонистическая игра называется матричной (или конечной, или прямоугольной), если оба игрока имеют конечное число стратегий, т.е. если оба множества состоят из конечного числа элементов. В противном случае игра называется бесконечной.
Пусть множество
состоит из
,
а множество
– из
элементов. Между множествами
и
можно установить взаимно однозначное
соответствие и тогда любой элемент из
множества
,
т.е. каждую стратегию первого игрока,
обозначать номером из множества
.
Аналогично поступим и с множеством
,
и каждая стратегия второго игрока
приобретет свой номер. Таким образом,
если стратегия
имеет номер
,
а стратегия
имеет номер
,
то значение
можно
записать как
.
Обозначим
для всех
.
Тогда матрица
(5.1)
полностью определяет
матричную игру. Действительно, она
указывает, что число участников игры
– два (мы и противник),
– множества стратегий первого и второго
игроков соответственно, элементы
матрицы –
выигрыши первого игрока в ситуации
,
где
.
Иначе говоря, каждый элемент
представляет
собой выигрыш первого игрока, если он
выбирает свою стратегию с номером
,
а противник – свою стратегию с номером
.
Теперь понятно,
почему описанная игра носит название
матричной, а также конечной (т.к. множества
стратегий состоят из конечного числа
элементов) и прямоугольной (т.к. вообще
говоря,
,
и матрица
является прямоугольной). Однако второе
и третье названия употребляются
гораздо реже первого, и мы будем придерживаться названия «матричная игра».
Определение 5.2. Матрица , которая представляет собой таблицу значений функции выигрышей в матричной игре, называется платежной.
Перенесем основные определения и полученные результаты для антагонистических игр на матричные игры.
Седловой
точкой матричной игры является такая
пара индексов
,
для которой выполняются условия
.
(5.2)
Седловая точка
является решением игры, индексы
– оптимальными стратегиями первого и
второго игроков, соответственно, а число
является ценой игры.
Определение 5.3. Если для матрицы и индексов выполняются условия (5.2), то говорят, что матрица и игра, определенная матрицей , имеют седловую точку.
2) Теорема 4.1 о максимине и минимаксе приобретает следующий вид.
Теорема 5.1. Для всякой матрицы (5.1) выполняется неравенство
.
(5.3)
3) Теорема 4.2 формулируется для матричных игр следующим образом.
Теорема 5.2. Для того чтобы матрица 5.1 имела седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
(5.4)
Если – седловая точка матрицы , то
.
(5.5)
Теорема 5.2 дает возможность сформулировать методы решения игр, имеющих седловые точки.