§ 3. Две общих леммы о седловых точках

Лемма 3.1. Пусть функция определена на множестве . Если существуют такие элементы , что

, (3.1)

то пара является седловой точкой функции на множестве .

Доказательство. Так как (3.1) выполняется для всех , то оно выполняется в частности и при . Тогда

. (3.2)

Аналогично, неравенство (3.1) выполняется при ,т.е.

. (3.3)

И (3.1) и (3.2) следует (2.4). Лемма доказана.

Следствие. Если число V таково, что для элементов выполняются условия

, (3.4)

то – седловая точка функции на множестве и .

Действительно, первое утверждение повторяет утверждение леммы 2.1, а второе следует после подстановки в неравенство (3.4). Следствие доказано.

Лемма 3.2. Если – седловые точки функции на множестве , то

1) пары также являются седловыми точками функции на множестве ;

2) в любой седловой точке значения функции совпадают.

Доказательство. Согласно данным леммы и определению седловой точки

выполняются условия

, (3.5)

. (3.6)

Так как неравенства (3.5), (3.6) выполняются для любых , то, подставляя в (3.5) а в (3.6) , получим

, (3.7)

откуда , и в силу леммы 3.1 – седловая точка функции .

Аналогично свяжем неравенства (3.5), (3.6) , подставляя в (3.5) , а в (3.6) . Тогда из (3.5) и (3.6) следует

,

и в силу леммы 3.1 – седловая точка функции .Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

Второе утверждение леммы вытекает, например, из неравенства (3.7). Положив в нем , , получим в этих неравенствах равными крайние левое и правое числа. Но тогда все входящие в полученные неравенства числа равны между собой. В частности, , что и требовалось доказать. Лемма доказана.

§ 4. Максиминные и минимаксные стратегии

Для изучения свойств антагонистических игр важнейшую роль играют так называемые максиминные и минимаксные стратегии. Они возникают из естественных логичных рассуждений противоборствующих сторон. Проведем эти рассуждения.

Пусть здесь и везде дальше – функция выигрыша первого игрока в антагонистической игре, определенная для , где – множества стратегий первого и второго игроков, соответственно.

Так как в антагонистической игре увеличение выигрыша одного из игроков ведет к уменьшению на ту же сумму выигрыша другого, то каждый из участников конфликта будет активно противодействовать другому.

Проведем рассуждения за первого игрока, которым пусть будем мы с вами, читатель. Если мы выберем какую-то стратегию то мы выиграем . Но выбором распоряжается противник. В пределах своих возможностей он постарается сделать наш выигрыш минимальным. Таким образом, если мы зафиксируем то мы сможем рассчитывать только на выигрыш

. (4.1)

Зная, что противник будет придерживаться такой тактики, мы не должны фиксировать в (4.1), а выбирать , добиваясь выигрыша .

Определение 4.1. Если такая пара, что

,

то называется максиминной стратегией первого игрока, а число максимином.

Противник также способен рассуждать логично, а именно. Если он фиксирует свою стратегию , то мы выиграем , а т.к. мы распоряжаемся выбором , то добьемся выигрыша . Зная

это, противник постарается наш выигрыш минимизировать, т.е. выбирать так, чтобы наш выигрыш был равен .

Определение 4.2. Если такая пара, что

то называется минимаксной стратегией второго игрока, а число минимаксом.

Всюду, где говорилось о минимаксах и максиминах, подразумевалось, что они достигаются. Это будем делать и в дальнейшем. Заметим, что если

– ограниченные замкнутые множества, а функция является непрерывной на , то минимакс и максимин функции на множестве достигаются в силу известных результатов Анализа.

Оставим пока вопрос о нахождении минимаксов и максиминов заданной функции в стороне. Методы их нахождения не могут быть, вообще говоря, простыми, т.к. отыскание, например, значения даже при фиксированном является задачей математического программирования, решение которой, как уже отмечалось, часто вызывает непреодолимые вычислительные трудности.

Ответим ряд теоретических вопросов, связанных со свойствами максиминов и минимаксов.

Теорема 4.1 (о максиминах и минимаксах). Для функции _, определенной на _, имеет место неравенство

. (4.2)

Доказательство. Очевидны неравенства

,

.

Следовательно,

. (4.3)

_{Так как правая часть неравенства (4.3) не зависит от x ,а оно справедливо для любых x из Х , то значит, неравенство (4.3) справедливо, в частности, для того x из Х, для которого левая часть достигает максимума, т.е. выполняется неравенство}

.

А т.к. это неравенство выполняется для всех , а левая часть является константой, то оно выполняется и для того , для которого правая часть достигает минимума, т.е. справедливо неравенство (4.2). Теорема доказана.

Теорема 4.2 (о седловой точке и максимине). Для функции _, определенной на _, имеют место следующие утверждения:

а) для того чтобы функция имела седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(4.4)

б) если – седловая точка функции , то

. (4.5)

Доказательство. Необходимость. Пусть – седловая точка функции . Тогда по определению седловой точки

.

Так как , то в частности эти неравенства справедливы и для того , для которого функция достигает максимума, и для того , для которого функция достигает минимума. Таким образом, справедливы неравенства

. (4.6)

Кроме того, очевидны неравенства

, .

Учитывая эти неравенства и неравенства (4.6), получим

. (4.7)

Но по теореме 4.1 между минимаксом и максимином выполняется неравенство обратное неравенству (4.7). Следовательно, неравенства (4.7) выполняются как равенства. Но тогда доказано не только утверждение а) в части необходимости, но и утверждение б).

Достаточность. Теперь исходим из того, что выполнено условие (4.4). Существование седловой точки функции докажем конструктивным приемом, т.е. непосредственным, хотя бы теоретическим, построением такой точки. Обозначим

, . (4.8)

Пусть точки таковы, что

, . (4.9)

Тогда, подставляя (4.8) в (4.9), получим

, .

Так как правые части этих равенств равны в силу (4.4), то

. (4.10)

Убедимся теперь, что пара является седловой точкой функции . Действительно, из (4.8), (4.10) получаем следующие соотношения

,

.

Объединяя эти неравенства в одно, получим

,

но это и означает, что – седловая точка функции . Теорема доказана.

Перенесем полученные общие результаты на игровые ситуации. Для этого используем следующее

Определение 4.3. Пусть – функция выигрыша первого игрока в антагонистической игре Г. Числа

называют, соответственно, нижней и верхней ценой игры Г, а если , то число называют ценой игры Г.

Теорема 4.1 утверждает, что нижняя цена антагонистической игры не превышает верхней цены, этим и объясняется терминология, введенная в определении 4.3. Теорема 4.2 утверждает, что игра имеет цену тогда и только тогда, когда максимин равен минимаксу, цена игры равна значению функции выигрыша в седловой точке. Напомним при этом, что первая и вторая координаты седловой точки являются оптимальными стратегиями первого и, соответственно, второго игроков.

Определение 4.4. Если функция выигрыша первого игрока имеет седловую точку, то такую игру называют игрой с седловой точкой, а в противном случае – игрой без седловой точки.

Подведем итоги параграфа. Чтобы найти решение игры с седловой точкой надо уметь находить такую точку у функции выигрыша первого игрока и значение . К настоящему времени разработан ряд методов последовательных приближений для отыскания минимакса в случае, когда множества являются выпуклыми, а функция является выпуклой по для любого и вогнутой по для любого ( см., напр., В.Ф.Демьянов, В.Н.Малоземов. Введение в минимакс. М., Наука, с.368). Более простой является задача отыскания минимакса, когда одно из множеств состоит из конечного числа элементов (см., напр., как указанную книгу, так и работу Я.И.Заботин, М.И.Крейнин, К сходимости методов отыскания минимакса, ж. «Известия вузов. Математика», №10, 1977). Наиболее простые и эффективные алгоритмы разработаны для случая, когда оба множества являются конечными. К изучению таких задач и перейдем в следующем параграфе.