§ 2. Антагонистические игры и седловые точки

Одним из классов игр, для которых разработаны достаточно хорошие методы решения, является класс так называемых антагонистических игр.

Определение 2.1. Игра двух лиц с нулевой суммой называется антагонистической.

Заметим, что согласно теореме 1.2 для игры двух лиц с постоянной суммой существует стратегически эквивалентная ей антагонистическая игра с нулевой суммой. Следовательно, решение антагонистической игры является согласно теореме 1.1 решением для любой игры двух лиц с постоянной суммой.

Стандартную форму записи игры для антагонистической игры можно упростить. Так как игроков только два, то множества их стратегий обозначим по новому, положив . Тогда ситуация s будет представлять собой пару , где . Тогда условия можно не выписывать явно. Далее, так как в антагонистической игре , то нет потребности вводить две функции выигрышей. Введем функцию , т.е. функцию выигрыша первого игрока, тогда функцией выигрыша второго игрока .

Таким образом, антагонистическая игра определяется набором

,

где – множества стратегий первого и второго игроков, соответственно, а , где , функция выигрыша первого игрока.

Выясним теперь, что такое равновесная ситуация, т.е. решение антагонистической игры. Согласно определению 1.6 пара является решением игры, если для каждой функции выигрыша выполняются условия (1.2), которые в данном случае имеют вид

(2.1)

. (2.2)

Объединяя условия (2.1), (2.2), получим

. (2.3)

Далее будет широко использоваться

Определение 2.1. Пусть функция определена при . Пара называется седловой точкой функции , если

. (2.4)

Таким образом, имея в виду условия (2.3), отыскание ситуации равновесия, т.е. решения антагонистической игры свелось к чисто математической задаче отыскания седловой точки функции выигрыша первого игрока на заданном множестве .

В связи с этим определение решения игры и оптимальных стратегий игроков переносится на абстрактный язык следующим образом.

Определение 2.2. Решением, т.е. ситуацией равновесия, антагонистической игры является седловая точка функции выигрыша первого игрока в области ее определения, а оптимальными стратегиями первого и второго игроков являются первая, соответственно, вторая координата седловой точки этой функции, т.е. и, соответственно, .

Приведем примеры, характеризующие геометрический смысл седловой точки функции.

Пример 2. 1. Пусть функция

(2.5)

определена при . Требуется указать седловую точку функции (2.5) и построить график этой функции в окрестности точки (0,0).

Убедимся, что седловой точкой функции (2.5) является пара (0,0). Действительно, так как , то

,

т.е. для точки (0,0) выполняется определение 2.1.

На рис.1 изображен график функции при в окрестности ее седловой точки (0,0). На рис.1 для различных значений постоянной с изображены графики парабол в плоскостях с ветвями направленными вверх и графики парабол в плоскостях с ветвями направленными вниз.

Построенный на рис.1 график действительно напоминает седло.

Рис.1

Однако в случаях, когда функция определена на ограниченном множестве и является как по , так и по аффинной, т.е. отличающейся от линейной на постоянное слагаемое, ее график может представлять собой совсем иную картину.

Пример 2.2. Пусть ,

, . (2.6)

Требуется найти седловые точки функции (2.6) и построить ее график на множестве .

Убедимся, что пара при любом числе является седловой точкой функции (2.6). Действительно, так как , а для любого , то

.

т.е. для точки выполняется определение 2.1. Таким образом, любая точка отрезка, соединяющего точки (0,1), (1,1), является седловой.

График функции (2.6) изображен на рисунке 2.

Рис. 2