4 8)Как решается задача нахождения наибольшего и наименьшего значения ф-ции на заданном отрезке

Найти f(x) на отрезке [a;b]

(1)Найти критические точки (f^/(x)=0 или f^/(x)-не существует); (2)Найти значение ф-ции в этих точках (которые попадут в отрезок [a;b]; (3)Найти f(а) и f(b); (4)Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

49)Что называется выпуклой и вогнутой ф-цией

Опр: y=f(x)- называется выпуклой на интервале (a;b) (выпуклая вниз), если при любых х₁ и х₂ из интервала (a;b) выполняется: ;

Опр: y=f(x)- называется вогнутой на интервале (a;b) (выпуклая вверх), если при любых х₁ и х₂ из интервала (a;b) выполняется: .

Др. Опр: Ф-ция y=f(x)- называется выпуклой на интервале (a;b), если все точки графика ф-ции на этом интервале распологаются выше любой ее касательной.

50)Как исследуется ф-ция на выпуклость и на вогнутость, что такое точки перегиба

(1способ): 1\находим f^/(x); 2\ приравниваем f^/(x)=0 и находим х; 3\методом интервалов

(2способ): Если f^//(x)>0 на интервале (a;b), то y=f(x) выпуклая на этом интервале.

Если f^//(x)<0 на интервале (a;b), то y=f(x) вогнутая на этом интервале.

О пр: Точка в которой ф-ция меняет выпуклость на вогнутость называется точкой перегиба. Если в этих точках есть у^// ( ф-ция дважды дифференцируема), то в них всегда f^//(x)=0 (необходимое условие точек перегиба). Достаточным условием точек перегиба является смена знака у^//.

51)Какие виды асимптот графиков ф-ций вы знаете, написать их определения и способы нахождения

Опр(инвариантное):Асимптоты- такая прямая, что расстояние от точки данной кривой до этой прямой стремится к 0, при неограниченном удалении точки по бесконечной ветви кривой. При введении системы координат все прямые разделяются на 2 класса: (1) вертикальные х=а- вертикальная асимптота графика ф-ции у=f(x) при ха-0 и ха+0

(2) наклонные y=kx+b- наклонная асимптота графика ф-ции у=f(x) при х+, х- и х

Отдельно надо рассмотреть при х+, х-. После того как найден коэф. k, b находим по формуле: Отдельно надо рассмотреть при х+, х-.

52)Вывести формулу нахождения 1 и 2 производной параметрически заданой ф-ции

Иногда нельзя задать явно ф-цией у=f(x), а зависимость между х и у проявляется в том, что обе они выражены через один параметр t. Обычно так бывает в механике- координаты точки зависят от времени. у=f(x) .

В уравнении прямой можно найти явную зависимость, т.е. у выразить через х. Бывают кривые которые задаются только параметрически, т.е. ур-ниями вида \\ 1 производная: Рассмотрим параметрическое ур-ние Связь между х и у существует, но мы её незнаем, по крайней маре пока, но можно говорить о параметрически заданной ф-ции. Найдем производную ф-ции у=f(x).

\ y=y(t)=f(x(t)) \ \

\\ 2 производная: \

\ (y^//-тч. перегиба гр. ф-ции)

5 3)Что такое вектор-функция, ее годограф, каков механический смысл годографа.

Ф-ция ставящая в соответствие числу вектор называется вектор функция. Чаще всего t - время (мех. смысл) .

Г одограф для вектора ф-ции – «кривая», которая описывает конец вектора , если его начало расположить в начале координат. , то построение годографа вектора-функции по существу является построением кривой по параметрическим уравнениям.

Если в качестве вектор функции рассмотреть как радиус-вектор материальной точки, то годограф представляет собой траекторию (рис2). Приращение вектор функции направлено по траектории.