41)Доказать все теоремы о среднем для дифференцируемых ф-ций
Т.Ферма: Ф-ция
f(x) определена
на
и
в некоторой внутренней точке его
принимает наибольшее и наименьшее
значения, тогда, если существует
производная в этой точке, то она ровна
0.
f(x0)-наиб.
\ f(x0)-наим.
f /(x0)=0
Т
.Ролля:
(1) f(x)
непрерывна на
(2) f(x)
дифференцируема на
(3) f(a)= f(b) | с : f /(с)=0
f (x)=с f /=0 х Если ф-ция не является постоянной, значение в конце отрезков одинакова, то найдется внутрення точка, которая принимает наибольшее или наименьшее значения
Т
.Логранта:
(1) f(x)
непрерывна на
(2) f(x)
дифференцируема на
|
с
:
Геометрически услокие теоремы означает, что на интервале найдется по крайней мере 1 точка, в которой касательная || хоре АВ.
F(x)- останется непрерывной на отрезке и дифференцируемой на интервале.
F(a)=F(b) \ Для ф-ции F(x) находятся в условиях теоремы Ролля:
с
:
F/(с)=0
Следствие(теорема о конечном приращении):(1) f(x) непрерывна на
(2) f(x)
дифференцируема на
|
с
Т.Коши: (1) f(x) и g(x) непрерывны на (2) f(x) и g(x) дифференцируемы
на
(3) f(a) f(b)
|
с
:
h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)
h(a)=(f(b)-f(a))g(a)-(g(b)-g(a))f(a)= g(a)f(b)- g(a)f(a) -g(b)f(a)+g(a)f(a)
h(b)=(f(b)-f(a))g(a)-(g(b)-g(a))f(b)= g(b)f(b)- g(b)f(a) -g(b)f(b)+g(a)f(b)
h(a)=h(b) Для ф-ции h(x) находятся в условиях теоремы Ролля:
с : h/(с)=0 \ h(x)=(f(b)-f(a))g/(x)-(g(b)-g(a))f /(x) \ h/(с)=0
(f(b)-f(a))g/(c)=(g(b)-g(a))f /(c)
42)Сформулировать и доказать правило Лапиталя
Предел отношения ф-ций равен пределу отношения производных этих ф-ций.
(1) f(x) и g(x)- дифференцируема проколотой окрестности x= ]d;a[ ]a;b[
(2)
(3)
|
Доопределить обе ф-ции f(a)=g(a)=c,
f(х) и g(х)
непрерывные в тч. х=а, в остальных точках
окрестности они непрерывны. \ х>а
находимся в условиях теоремы Коши для
ф-ций f(x) и
g(x) на
43)Какие ф-ции называются возрастающими и убывающими на интервале
f(x) возрастающая на интервале ]a;b[ x1< x2 f(x1)<f(x 2)
f(x) убывающая на интервале ]a;b[ x1< x2 f(x1)>f(x 2)
44)Доказать теоремы о связи производной с возрастанием ф-ции
Т1: Если f(x) возрастает на ]a;b[ и дифференцируема, то f/(x0)0 на ]a;b[.
\
\
x-x0>0
x>x0
f(x)-возрастает, f(x)>f(x0) f(x)-f(x0)>0 \ f(x)-возрастает, f(x)<f(x0) f(x)-f(x0)<0
Т2: Если для f(x) f/(x0)0 на ]a;b[, то у=f(x) возрастает на ]a;b[.
[x1;x2]
находятся в условиях теоремы Логранта
(f(x)-непрерывна,
f(x)-дифференцируема
на ]a;b[)
x1<x2
у=f(x)
возрастает
45)Что такое точки экстремума
Тч. x0 называется точкой локального максимума ф-ции y=f(x), если существует окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство f(x)< f(x0). Тч. x0 называется точкой локального минимума ф-ции y=f(x), если существует окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство f(x)> f(x0).
Собирательное название точек локального максимума и минимума называются экстремумами ф-ции.
46)Обосновать необходимое условие экстремума
Если тч. х0 является точкой экстремума ф-ции f(x) и дифференцируема в этой точке, то производная в тч. х0=0.
f(x0)-наиб.
\ f(x0)-наим.
f /(x0)=0
47)Вывести 2 вида достаточного условия экстремума ф-ции
(1) Если f/(x0)=0 меняет знак с + на -, то тч. х0 является точкой локального максимума.( x<x0 – y=f(x)- возрастает; x>x0 – y=f(x)-убывает ) Если f /(x0)=0 меняет знак с - на +, то тч. х0 является точкой локального минимума.
(2)Если f/(x0)=0, f //(x0)>0, то тч. х0 является точкой локального минимума.
( f //(x0)>0, в некоторой окрестности f/(x0) является ф-цией возрастающей;
- + х0 является точкой локального минимума. )
Если f/(x0)=0, f //(x0)<0, то тч. х0 является точкой локального максимума.
(Достаточное условие в точке экстремума д.б. проверено 2 способами: через 1 и 2 производные)