26)Какие понятия вводятся для сравнения бесконечно малых ф-ций, дать их определения.

: E>0 >0: 0<|x-a|<  |f(x)-A|<E \ f(x)-б.м. ха

(1) f(x)=x - б.м х0 при x=0 f(x)=0,1

g(x)=x²- б.м х0 g(x)=0,01

опр: Говорят, что g(x) является б.м., более высокого порядка, чем f(x), если при ха:

(2)Опр: y(x)- б.м. \ 2-е б.м. ф-ции f(x) и g(x) называются эквивалентные, если предел их отношения равен 1.

(3)Опр: f(x)-б.м. порядка n, при х0, если она эквивалентна kx^N,

f(x)-б.м. порядка n  f(x)kx^N, k0

27)Какая ф-ция называется непрерывной в заданной точке.

Опр: f(x)-непрерывная в тч. х=а E>0 >0 \ |x-a|<  |f(x)-A|<E  A=f(x)

f(x)-непрерывная в тч. х=а 

Предел ф-ции при ха равен значению ф-ции в этой точке.

Ф-ция f(x) называется непрерывной на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

28)Сформулировать критерий непрерывности и охарактеризовать виды разрывов ф-ции

f(x)-непp. х=а 

В этой точке существуют пределы слева и справа, равные между собой значению ф-ции в тч. а.

Если ф-ция не является непрерывной в какой либо точке, то говорят, что она имеет разрыв в ней. Виды разрывов:

1 ] Устранимый разрыв, его легко устранить, если доопределить ф-цию в одной точке а. ( неопр. в тч. х=0 y= ) - разрыв устранили, эта ф-ция является непрерывной.

2]Разрыв 1 рода. Односторонние пределы существуют, имеют конечное значение, но не равны между собой.

3] Разрыв 2 рода (во всех остальных случаях). Односторонние пределы (хотя бы 1) бесконечен или не существует.

29)Что такое производная ф-ции в фиксированной точке

Опр:Пусть дана у=f(x), x₀ – производная точка из ее области определения. Производной ф-ции в тч. х₀ называется число, f^/(x) и вычисляется:

- предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента. х = x-x₀ \ x = x₀-x

Если предел существует, то ф-ция называется дифференцируемой в тч. х = х₀

Замечание: дифференцируемая ф-ция обязательно непрерывна в тч. х = х₀

30)Что называется односторонним производными.

y=|x|, x₀=0 \ \ \

- общего предела не существует.

f(x)- не является дифференцируемой в тч. х=0

(нарисовать график у=|x|)- непрерывная, но не дифференцируемая ф-ция. Для характеристики этой ситуации вводится понятие односторонних производных (левая и правая производная в точке х₀) .

( f_Л=-1, f_П=1)

31)Что такое дифференциал ф-ции и как он связан с приращением ф-ции

Пусть дана y=f(x), дифференциал ф-ции называется (предел производной на дифференциал аргумента) dy=y^/(x)dx, где dx- формальный символ, обозначающий бесконечно малое приращение аргумента х (фактически тоже самое, что х, но только dx0) Дифференциал- главная, линейная часть приращения ф-ции

32)Каков физический смысл первой и второй производных

Пусть мат. Точка движется по прямой и за время t проходит путь S(t).

- при равномерном движении. -при неравномерном движении.

Под знаком предела мы видим среднее ускорение тч. t, при t0.

33)Что такое производная ф-ция от ф-ции.

Опр: Для у=f(x) в конкретной точке x=x₀, нашли f ^/ (x₀)- производную ф-ции в этой точке. Если пройдемся по всей обл. определения ф-ции и каждой точке из этой обл. определения сопоставим свое число, которое неравно f ^/ (x₀), мы получили тем самым ф-цию, она называется производной от ф-ции y=f(x)

34)Перечислить св-ва производных, доказать любых два.

1\ (C)^/ =0 2\ (U+V)^/ =U^/+V^/ 3\ (UV)^/ =U^/V+UV^/ 3a\(CU)^/ =CU^/ 4\

 (1) 

 (3) y=U(x)V(x)

(непр. U(x) при xx₀) 

35)Записать таблицу производных, доказать любые 2 формулы.

1\ (x^N)^/ = nx^N-1 2\ (sinx)^/ =cosx; (cosx)^/= - sinx 3\ (e ^X)^/ =e ^X; (a ^X)^/ = a ^X lnx

4\ (lnx)^/ = ; ( )^/ = 5\ ;

6\ ; ; ;

y = sinx 

y = e^X 

36)Каков геометрический смысл производной и дифференциала

d y=y^/(x)dx \тангенс угла наклона касательной -

|AB|=dy

Дифференциал dy ф-ции y=f(x) в точке х₀ равен приращению ординаты касательной графика этой ф-ции в точке D(x₀;f(x₀)), а приращение ф-ции у есть приращение ординаты самой ф-ции y=f(x) в точке х₀, соответствующей приращению аргумента равного х.

37)Вывести уравнение касательной и нормали к графику ф-ции

y=kx+b \ k=y^/(x₀) \ (1)y=y^/(x₀)x +b, прямая проходит через точку, значит она удовлетворяет ур-нию. y₀=y^/(x₀)x₀ +b \ b= y₀-y^/(x₀)x₀ подставляем в ур-ние (1)

y= y^/(x₀)x +y₀ -y^/(x₀)x₀ \ y- y₀= y^/(x₀)(x-x₀)-ур-ние касательной графика ф-ции y=у(x) в точке (х₀ ;у₀). \

y- y₀= (x-x₀)- ур-ние нормали графика ф-ции y=у(x) в точке (х₀ ;у₀).

38)Доказать теорему о производной сложной ф-ции

Сложной ф-цией называется ф-ция у=f(g(x)), где у=f(x) и у=g(x)- 2е заданные

ф-ции. Теор: Пусть у=f(x), у=g(x) – 2е дифференцируемые ф-ции, тогда их композиция у=f(g(x)) тоже будет дифференцируема и вычисляться по формуле:





39)Вывести производную обратной ф-ции (привести пример ее нахождения)

y=f(x) \ x=f(y)  y=(x) \ f((x))=f(y)=x \ [f((x))]^/=1 \ f ^/((x))  ^/(x)=1

Пр.:1)

2)y=sinx  y=arcsinx

40)Обосновать теорему об исчислении производных

В таблице производных отражено, что производная основных элементарных ф-ций, есть элементарная ф-ция. В св-вах производных отражено, что операции сложения, умножения, композиции (создание сложной ф-ции) не выводят за рамки элементарных ф-ций. Получается, что производная любой элементарной ф-ции снова является элементарной ф-цией, говорят, что имеет место исчисление производных.